I. — DÉCOMPOSITION EX FACTEURS. CONSÉQUENCES

201. Expression générale des fonctions à multiplicateurs constants. — Soit F(«) une fonction aux multiplicateurs constants donnés [x et [i.'. Par hypothèse cette fonction n'a d'autres points singuliers que des pôles à distance finie el vérifie les deux, équations

F ( a -H ?. to ) == ;j. F ( M ),

F ( « -+- 2 oj' ) = [x ¥{u)

Pour obtenir une première expression de la fonclion F(w), remarquons que la fonction particulière

considérée dans le numéro précédent, Nérific les relalions

^^^ (/(»--2C.y)=[JL'/(«),

OÙ

^ . I-2AW

( 4 ) fji = e5> w, ;jl' = e w

On peut toujours disposer des constantes X et a de façon à faire prendre à ces multiplicateurs des valeurs données à l'avance. En elTet, 'j. et ;x' étant donnés, on a

^= -i(^ï^og[z' — w'Log-x),

ITZ

Logij. ayant la même détermination dans les deux équations.

Avec ce choix des constantes À et a, on a, par la formule (2), une l'onction particulière y(M) aux multiplicateurs donnés |j. et u'. Mais alors, si l'on revient à la fonction générale ¥(n) aux mêmes multiplicateurs, le quotient

est une fonction elliptique aux périodes 210 et 2co'. En effet, quand u augmente de l'une de ces périodes, F et/^ se reproduisent multipliées par le même facteur et ^{u) ne change pas.

On obtient ainsi une première expression générale des fonctions aux multiplicateurs constants jj. et a', en prenant

les constantes À et a étant déterminées par les relalions (5) et ^(«) désignant une fonction elliptique aux périodes 20J et 210'.

202. Décomposition en facteurs. — La formule de décomposition en facteurs se déduit immédiatement de ce résultat. En effet, la fonction elliptique ^(w) peut se mettre sous la forme suivante