FONCTIONS A M V LT I P LI C \T E U RS CONSTANTS

^^ , .,11(11 — hi)U(u-h,)...U(u-b,.) ^ ïl{u — ai)U(u — «2 )•■•"(." — «/•)

avec la condition

La fonction aux multiplicateurs constants jji et ja' peut donc s'écrire

Telle est la formule de décomposition en facteurs. Elle conduit aux conséquences suivantes :

i" Une fonction à multiplicaleurs constants possède, dans lin parallélogramme des périodes, autant de zéros que d^in- Jinis. Cela résulte de ce que, dans la formule (8) ci-dessus, il entre autant de fonctions II au numérateur qu'au dénominateur.

1° Si Von considère, d^une part, les zéros, d'' autre part les injinis que possède une fonction aux multiplicateurs [x et y.' dans un parallélogramme des périodes, la différence entre la somme de ces zéros et la somme de ces injinis est égale à

à des multiples des périodes près.

En effet, la fonction F(w) définie par la formule (8) a, dans un parallélogramme des périodes, des infinis homologues des points

et des zéros homologues des points

La différence entre la somme des zéros et celle des infinis est donc

(9) <x^ bi-\- b-i-^ ...+ b,.— {ai-i- a-2-{- ...-{- a,-) + i-miM -\- iiiLo :

33o CHAPITRE XI.

si Ton lient compte de la relation

bi-h b-y-i-. . .^ h,.— Oi-^ o-x-h . . .-h a,-, et de la valeur (5) de a, on voit que la différence considérée (9) est

-r- (10 Log iJl' — CO' Log|JL) -t- •2/)H0 -+- >. H 0)',

ce qui démontre le théorème.

Changer les déterminations choisies pour Logu.' et Log[Ji. revient à modifier les entiers m et n. On pourrait, par exemple, choisir les déterminations des deux logariliimes de façon à annuler m et n.

Remarque. — Il est évident que la fonction F(;^) donnée par la formule (8) n'admet pas nécessairement, d'une manière effective, le pôle « = o : car un des zéros bf, b-j, . . . -, b,- peut être égal à o ou homologue de o. De même, celte fonction n'admet pas nécessairement le zéro a.

Les deux théorèmes que nous venons d'énoncer admeltenl la réciproque suivante :

3° Si l'on considère une expression de la forme

dans laquelle les constantes À, a, a, , . . . , a,-, b^ b\, . . . , b,- vérifient les deux relations

/ 6 -i- 6l + ...-^ 6,.— (a -+-«1 -+-...4- «,.) = ^ (co Log[JL' — w' Log|JL),

cette expression F(;<) définit une fonction aux multiplicateurs [JL et \>.' . C'est ce qu'on vérifie immédiatement en partant des relations fondamentales

iTZ .. , ( " -H W )

IÏ(a + 2(o')=:H(a)e " Quand les mulliplicateurs jj. et u' sont égaux à i, la fonction

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 33i

]"'(//) (Jcvicnl une fonction elliptique, et la deuxième des relations (lo) exprime alors le théorème de Liouville (n" 39).

203. Nombre minimum de pôles d'une fonction à multiplicateurs constants. ■ — !\uus a\(nis vu (|u'uiie fonction ciliplicjuc a, au moins, deux pôles simples ou tiii pôle double dans un parallélogramme des périodes. Il en est autrement pour les fonctions à multiplicateurs constants.

Quand les inulliplicateurs ij. et uJ sont quelconques et ne vérifient pas la relation

(il) -— (toLog[i.' — w' Logii.) = o,

pour des déterminations com^enables des logarithmes, toute fonction aux multiplicateurs \x et jj.' admet au moins un pôle s'mple dans un parallélogramme des périodes.

En effet, si la fonction F(;/) donnée par la formule générale (8) n'avait pas de pôles, clic n'aurait pas de zéros, et cette fonction se réduirait à la fonction

dont les multiplicateurs

[j. = e-"'w, jjt,' = e-^-w'

vérifient la relation (i i) que nous avons écartée.

Il y a donc au moins un pôle. D'ailleurs, il existe des fonctions avec un seul pôle dans un parallélogramme des périodes. Telle est, par exemple, la fonction déjà considérée