II

où A et a sont déterminés par les équations (5). Cette fonction a, comme pôles, le point « = o et les points homologues. Telle est encore la fonction

•^ ^ ' il(U — l'j

33a CHAPITRE x i .

où p est une constante quelconque; celte fonction admet, comme pôles, le point u = v et les points homologues.

20i. Fonctions à multiplicateurs spéciaux. — Nous dirons que les niulliplicaleuis a cl -j.' sont spéciaux quand ils vérifient une relation de la forme

o) Log|j.' — w' Log;ji = o,

j)onr une détermination convenable des logarithmes. Dans ce cas, il existe une fonction partout finie dans un parallélogramme des périodes et admettant les deux mulliplicateurs : cette fonction est

Ac>«,

). étant déterminé par les deux relations compatibles

Log;x Log;ji'

'2 Co 2 0)'

La fonction la plus générale F(?^) aux multiplicateurs spéciaux 'j. et !x' est alors

<I>(w) désignant ux\e fonction elliptique. Une fonction elliptique, non réduite à une constante, a au moins deux pôles simples ou un ])ôle double dans un parallélogramme; donc, si la fonction F(«) ne se réduit pas à une simple exponentielle Ae'", elle admet dans un parallélogramme au moins deux pôles simples ou un pôle double. Telles sont les fonctions

e>"sn-«. e>"[7A u — a) — Z(u — b)], II — DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES.

20o. Élément simple. — Reprenons la fonction les constantes A et a étant déterminées par les équations

•20J °' ' a = -7— (lo Logij.' — oj' LogjJt).

FONCTIONS A .MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 333

Kcarlons le cas des nuilliplicaleurs spéciaux éliidic dans le dernier nuim'ro. Alors a n'est pas homologue de zéro et la fonction f{ii) devient elTectiveinenl infinie au point il = o et aux points homologues. Déterminons la constante A de telle façon que le résidu de /*(«) relatif au pôle n = o soit égal à i. Pour cela, il suffit (fécrire que le produit ii f[u) est égal à i pour u = o. On a ainsi

' Il'(o) ' ^ ll(a)

et la fonction /(u) devient

Cette fonction /{n) constitue l'élément simple introduit par M. Ilermite pour obtenir la deuxième expression générale des fonctions aux multiplicateurs |jlcI!J.'. Elle vérifie les deux relations

elle admet comme pôle simple le point w ^ o et les points homologues. Au point /^ = o son résidu est i ; au point 11=2 m m -\- 2/«a)', met n étant des entiers quelconques, son résidu est p.'"u'", comme il résulte de ré(|uation

conséquence immédiate des relations (i3). SI dans ces relations on change u en u — ç, (^ désignant une quantité quelcontpic indé- |)cndante de u, ou a aussi