I.a fonction

regardée comme fonction de u, a donc les mêmes multiplicateurs a et ul' que/(//) : elle admet comme pôles simples le point u= ç cl les points homologues, le point u = v avec le résidu + i .

Il est intéressant de voir quelles sont les propriétés de cette même fonction y(« — r) considérée comme fonction de v. Si dans les relations (i4) on change u en u — 210 on obtient deux nouvelles relations que nous écrirons comme il suit

Ces relations montrent que /(;/ — r) considéré comme fonction

de V est une fonction aux multiplicateurs inverses - et — ;• Cette

fonction de r admet comme pôles simples le point r= u et les points homologues, le point r = u avec le résidu — i . On vérifie, en efi'et, immédiatement, que le produit [v — u) fi^u — r) tend vers — I quand c tend vers u.

206. Formule de décomposition. Cas des pôles simples. — Soit une fonction F( //) aux multiplicateurs non spéciaux a et ;a'. Supposons d'abord que celte fonction n'ait que des pôles simples homologues respectivement de certains points

u = a, u = b, . . ., u = l, et soient

les résidus de F (u) aux points a^ b, . . . , /. Considérons la différence

W {u)=F{ii)—\f{a — a)—Bf(a — b) — ...-Lf(u — l).

Nous allons montrer que cette différence est identiquement nulle. En effet, ^'{u) est une fonction aux multiplicateurs jj. et u.' , car elle est une somme de fonctions F(«), — ^/{i^ — • «); • • • admettant séparément ces multiplicateurs. En outre, cette fonction W(u)esl finie pour toutes les valeurs de u, car, dans le voisinage de u = rt, par exemple, on a, par hypothèse,

¥(u)= — '- 1- fonction régulière;

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 3j5

de plus, d'après les propriélés de la foncliooy(f/ — r), on a, dans le voisinage de ii = a,

f(u)— \- fonction régulière;

enfin les autres termes f[u — b). . -/{i' — /) sont des fonctions régulières au point u = a. Dans la combinaison qui donne ^''(//)

les termes en disparaissent et ^I''('0 est finie pour // -— a. Il

en est de même des autres points ;/ = 6, . . . , k ^^ l et des points homologues.

Ainsi ^{ii) est une fonction aux multiplicateurs non spéciaux [JL et ui', n'admettant plus aucun pale à distance finie. Mais une telle fonction ne peut pas exister (n" 203) : donc ^I'('^) est identiquement nulle. On a alors la formule

C'est la formule de décomposition en éléments simples, mettant en évidence les pôles non homologues «, ^, . . . , / et les résidus correspondants. Chaque terme de cette formule est une fonction de u aux multiplicateurs [Ji et [x' admettant dans un parallélogramme un seul pôle simple.

Inversement toute expression de la forme (i(3) dans laquelle a, b, ..., / sont des points non homologues deux à deux et A, B, ..., L des constantes quelconques, est une fonction aux multiplicateurs ijL et ^' , ayant comme pôles les points a, b, . . . , / et leurs homologues, les résidus relatifs aux points r/, b, . . . , /étant A, B, . . . , L.

D'après cela, on peut choisir arbitrairement les résidus A, B, . . . , L : il n'existe entre eux aucune relation nécessaire. Il j a donc là une différence avec les fonctions elliptiques pour lesquelles la somme des résidus est nulle.

Exemple de décomposition. — Soit

U(a-ajII(« — 6)'

a el b étant deux constantes non homologues entre elles et non

homologues de o. Celte fonclion admet les multiplicateurs

comme il résulte des propriétés fondamentales de la fonction H; elle admet comme pôles les points a et ft et les points homologues. Construisons Félémcnt simple correspondant

en choisissant A et a de façon que cette fonction admette les mêmes multiplicateurs [jl et u.'. Il suffit de prendre

l'élément simple est donc

•^^"^~ Il(a-+-6)H(M)

Les résidus de la fonction à décomposer F(;/), relatifs aux deux pôles non homologues a et b, sont

HHa) ^ W-(b)

pour les obtenir, il suffit de chercher les limites des deux produits ( u — a) F(i/) et (w — b) ¥{ii) pour u =r a et u = b. La formule de décomposition est donc

F{u)= A/(u — a)-hBf{u — b), ou, en écrivant tous les termes explicitement

b) UHb)U(u^an

I riP-(a)H(u

~ H{a-i-b)H(a — b)l II(tt — ,

207. Cas des pôles multiples. — Le même raisonnement nous donnera la formule dans le cas des pôles multiples. Supposons que la fonction F{n) aux multiplicateurs non spéciaux u. et ^' ad-

FONCTIONS V MLLTIPLICATEUHS CONSTANTS. 3ij

inellc comme pôles les polnls r/, b, ..., /non homologues; et supposons (pic les pailles principales rclalives à ces pôles soient respectivement

« — a {a — a)- {u — ay (u — a)'-^

^ . B B^ B2 Bp)

Si l'on désigne par/',/", ... les dérivées successives (}c/{i/)^ la (lilTérencc

T{u}= F( »)— [a /(»«)— Ai/'(« — a)+ —/"(» — a)

+ ( i)x-i ^^LJ f^^-iHu - a )1

- [b /( n-ù}- B, y'(« 6) + -5l f'iu -b)

est encore identiquement nulle : en effet, clans le voisinage de u z= a par exemple, on a

f{u — a)= -+- fonction régulière,

/'( « — 0) = -î- fonction régulière,