f"(u — a) = , ---fonction réfrulièie

f(^-\ Ui — rt) = (— i)'^-i — f- fonction ré<rulière.

Donc

\/{ a — a )— Al f'{u — a )-\ /"( u — a } — . . .

H ^-^^ /<*-''(« — a )= 'i>i(f<)-i- fonction régulière.

338 ciiAPiTRi: XI.

Comme dans le voisinage de u = a, on a aussi, par liypothèse,

F(m) = (ûi(«) 4- fonction régulière;

on voit que ^{if) est régulière au point a; il en est de même des autres points b, . . ., Ici des points homologues. Cette différence ^''(«) est donc une fonction aux multiplicateurs non spéciaux [a et u' n ayant plus aucun pôle à distance finie. Comme une telle fonction ne peut pas exister (n" 203), ^'*('0 ^^^ identiquement nulle et l'on a la formule de décomposition

la somme étant étendue à tous les pôles non homologues.

Réciproquement, toute expression de cette forme, dans laquelle les coefficients A, A,, . . ., Aa i, . . • sont choisis arbitrairement, est une fonction aux multiplicateurs [x et [>.'.

On voit l'analogie de cette formule avec celle que M. Hermite a donnée pour les fonctions elliptiques et que nous avons établie au n" 26 par un raisonnement presque identique.

Exemple. — Prenons, par exemple, la fonction (17) de la page 335, en j faisant b = a,

UHu)

H - ( a — a) Cette fonction admet les multiplicateurs

2 /Tin

[ji. = I , |ji' = e '^ ;

file a comme unique pôle double le point u^^a et les points ho- . inologues. Dans le voisinage du point u = rt, on a, par la foi^mule de Tavlor,

Hf» — «) = (tf-a)H'(o)+ ^"~'!^'h"'(o)-^...,

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. SSq

car ll{u) clanl impaire, II(o), Il"(o) sont nulles. Donc

'"^ — c — ïî^y^--

(« — a) ll'(o)

En élevant au carré, on a enfin

HUu) I UHa) 1 \\(a)\V{a)

H-(m — a) (u — a)- H'-(o; (u — a) ll'^{o) ■ •■•'

les termes non écrits formant une fonction régulière au point a. On a ainsi mis en évidence la partie principale de F(«) au pôle o. L'élément simple avec les multiplicateurs u. et u.' est actuellement

. U'(o)li( u -^ia) -f^^^^- H(2f/)H(>;

La formule de décomposition est enfin

■2lI{ajH'(a) WHa)

^("^^ H'Ho) /^"-")- ïn(^/ ("-«)•

208. Méthode de M. Hermite. — Pour établir la formule de décomposition, nous avons suivi une marche analogue à celle que nous avons employée pour les fonctions elliptiques (n°* 24 et 26). M. Hermite établit cette formule par la méthode suivante, que nous indiquons à titre d'exercice :

Soit F(w) une fonction aux multiplicateurs non spéciaux u. et u'; désignons par r une variable auxiliaire et considérons la fonction de c

^{v)=¥{i>)f{ii-v).

Cette fonction est doublenienl périodique : car, si Ton augmente r de l'une des périodes, F(t') se reproduit multiplié par a ou 'j.' el

f{u — r) multiplié par- ou — ; donc le produit <ï*(t') ne change

pas. La fonction ^*((^) est donc une fonction elliptique. En écrivant que la somme des résidus de ^(<-) relatifs aux j)oles situés dans un parallélogramme ou, ce qui revient au même, relatifs aux pôles non homologues, est nulle (n' 25), on obtiendra la formule cherchée.

34o CIIAPITUE XI.

Les infinis de ^(^') sont les infinis des deux fadeurs F(r) el f{ii — v") : les infinis de F(r) sont homologues dos points

ceux de f{ii — v) sont homologues du point u. Supposons, pour simplifier, les pôles de F(t') simples et soient A, B, . . . , L les résidus de F correspondant aux pôles a, b, . • ., /. Les résidus de $(i'), relatifs à ces pôles, sont

A/(«-a), ^f{u-b), ..., hf{u~l).

Le résidu de <I>(v') relatif au pôle f := a est

Écrivant f[ue la somme de ces résidus est nulle, on a bien la formule cherchée.

Nous laissons au lecteur le soin d'appliquer la même méthode au cas des pôles multiples.

209. Multiplicateurs spéciaux. — Dans ce qui précède, nous avons écarté le cas où les multiplicateurs 'x et 'jJ vérifieraient, pour des déterminations convenables de Log|jt. et Logjj.', la relation

o) Log ij.' — o)' Log \x = o.

Supposons maintenant cette relation remplie : il existe alors une exponentielle de la forme

admettant ces deux multiplicateurs, car les deux équations

|j^ — e2Xw^ ^ — g2Xw'

donnent pour ). des valeurs compatibles. Cette fonction

est une fonction n'ayant aucun pôle à distance finie. L'élément simple appelé /(?^) n'existe plus dans ce cas, car la constante a est homologue du point o. Donc les formules de décomposition générale ne s'appliquent pas à ce cas.

Mais, actuellement, toute fonction F(f/) aux multiplicateurs

FOI^CTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 34 1

spéciaux ijl cl u' peut s'écrire

(I>(«) étant une fonction elliptique. Il suffira de décomposer cette

fonction ^(i/) en éléments simples par les formules des n"^ 24

cl 2G, et il en résultera une formule donnant F( m). Par exemple,

supposons que F(«) ait seulement des pôles simples homologues

des points

les résidus relatifs aux points «, ^, . . . , / étant

Jja fonction elliptique

^(ii)= e->-«F(M)

admet les mêmes pôles avec les résidus

On a donc, d'après la formule (3i) du n'^ 24,

*( u) = Co4-e-^«AZ(ii- a) ^ e-'^/'B Z{u — b) ^ . . . -i- e-'-i L Z{u — l ) ;

en outre, la somme des résidus de la fonction elliptique <I> étant nulle, on a, entre les pôles et les résidus de F, la relation

( rg ) A e->« -h B e-'-'' -t- . . . -f- he'^' = o.

Revenant à la fonction donnée F par la formule

F(u)= e>-«*(M), on a enfin la formule

F(m)= Coe'-"-!- Ae>-(«-«)Z(i< — «)

On pourrait donc prendre actuellement comme élément simple la fonction

et écrire

F(«)=Goe>-"+A<p(a — a)-HBcp(M — Z>) + ...-4-Lcp(a — / ).

Il est important de remarquer que, si les multiplicaleuis sont spéciaux, les résidus ne peuvent plus être choisis arbitrairement : ils sont liés aux pôles correspondants par une relation, qui a la forme (ig) quand tous les pôles sont simples.

IIF. — ÉguvTioN DE Lamé. Équations de M. Picard.

210. Équation de Lamé. — Une application des pltis importantes des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, ou fonctions à multiplicateurs constants, est l'intégration d'une classe d'équations différentielles linéaires et homogènes ajant pour coefficients des fonctions elliptiques.

La première équation de ce genre a été considérée par Lamé à propos de l'équilibre des températures dans un ellipsoïde homogène. Cette équation, appelée équation de Lamé, a d'abord été prise par Lamé sous la forme

— -^ =[«(« + i)A- sn^a" ■+• /ijj>',

k étant le module, n un entier et h une constante. Lamé s'est borné à intégrer cette équation pour des valeurs particulières de h choisies de telle façon que l'équation admette une solution qui soit un poljnome entier en sn.z;, ou un polynôme entier en sn j; multiplié par l'un des trois facteurs eux, dnj; ou cn^dnx. Par exemple, quand /? = t , l'équation

■^ =(2/.-2sn2:r + /Oj',

admet la solution

y = sna",

pour h z= — (i H- A--), et la solution

y = cna", pour /i := I .

M. Hermite, se plaçant dans le cas général où h est quelconque, a montré que l'équation de Lamé peut toujours être intégrée et que son intégrale générale est de la forme

y = CF{x)-^C P{—x),

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 343

F(^) étant une fonction à multiplicateurs constants, G et C deux constantes arbitraires.

211. Forme de l'équation de Lamé dans les notations de M . Weierstrass. ^ Si dans réqualion

r-^ = /i(/H- nA-2 %nP-x -~ h,

y dx'-

on fait le changement de variable

// désignant la nouvelle variable et a une constante, et si Ton se reporte à la formule

Va j u

l équation devient

i d^y n(n-hi) , r4 = — ^^ ■+- h-

Introduisons maintenant la fonction pu par la formule (n° 97)

nous obtenons l'équation

y du"' ^ "^

où / est une constante. C'est là la forme de l'équation de Lamé dans la notation de M. Weierstrass, telle que nous l'avons rencontrée au n" 194.

212. Intégration de l'équation de Lamé pour /i — i. — Nous allons exposer la méthode de M. Hermite pour le cas de /? =: i, qui, d'après les recherches de M. Hermite, se présente dans l'étude des mouvements à la Poinsot. Nous rattacherons ensuite le cas où n est un entier quelconque à un théorème de !M. Picard.

L'équalion de Lame, pour /? = i , pcul s'écrire

y du' ^

Essayons de la vérifier par la fonclion à imilliplicaleurs conslants

ijiu -\- a) , v. = — : -' e'>«,

a el X désignant des constantes. Nous avons, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres

j-^ = t(u -h a)— tu -hl,

yi du et en dérivant de nouveau

I d^ji / 1 dviY I

J'i ^«- Vji du J '

Mais d'après la formule d'addition pour 'Cu (n" 41) la valeur de

I dvx , ,

7— peut s écrire

Vi du '

:>'! du

1 pu — pa

puis, d'après la deuxième formule d'addition pour pu (n" 4o), on a

'(« + «)= 7 1 Trr: — î-— j p„p«.

On a donc enfin

~- = ipu-^pa —

J'i du- ^ l^\pu~pa

\ P'u — P'a 1 pu — pa

Pour que le second membre devienne égal à 2pa~\-l, on voit qu'il suffit de faire

pa = l, X — — ta.

Ainsi l'équation (20) admet la solution

FONCTIONS A M l' LT I PLI C A TE U R S CONSTANTS. 3^5

à condition que la conslanlc a soil dclcrniincc par l'équalion

(il) prt = /.

Comme l'équalion difTérenlielIe ne change pas quand on change u on — //. elle admet également la deuxième solution

•^^ (fit '

qui s'obtient aussi en changeant le signe de «, ce qui est évident d'après l'équation (21) dont le premier membre est une fonction paire de a.

L'équalion de Lamé pour n = i admet donc l'intégrale générale

C( et Co désignant deux constantes arbitraires.

213. Équations de M. Picard. — L'équalion de Lamé rentre dans une classe déquations dillérentielles linéaires et homogènes qui peuvent être intégrées à l'aide des fonctions à multiplicateurs constants, comme l'a montré M. Picard (Comptes fendus^ 1880, i'*'' semestre.

Soit une équation linéaire d'ordre n de la forme

dont les coefficients/, (o:), /2(-2')î ...,/// (.2*) sont des fonctions elliptiques aux mêmes périodes 2to et aw'; supposons en outre que l'on sache que l'intégrale générale est uniforme en œ et n'admette pas d'autres singularités que des pôles à distance finie.

Dans ces conditions, l'équation est inlcgrable à l'aide de fonctions à multiplicateurs conslants.

Pour le démontrer, supposons l'équation du troisième ordre

Le raisonnement que nous allons employer s'appliquera à une équation d'un ordre quelconque.

Le point de dépari est dans ce fait que quatre solutions quelconques y,, y2, ^^'3,^'; de l'équation du troisième ordre (22) sont liées par une relation linéaire et homogène à coefficients constants de la forme

Cl 71-1- G2 ^'2 +03^^3-1- Ci7i=0.

Soit alors

une intégrale de l'équation : par hypothèse, c'est une fonction uniforme de x. Comme l'équation différentielle ne change pas quand on change j:- en ^ -i- 2 (o, elle admet aussi les intégrales

Entre ces quatre fonctions a lieu, quel que soit x, une relation de la forme

(23) Cl cp(j')+ C2 0(37 -1- 'iw)-*- C3 0(0." -t- 4co)-i- Cv ç(.r -H 6w)= 0. En supposant C^ différent de zéro et divisant par C4, on a

(24) çl'j" -f- Gw) = c-i cp(a")H- C2 o(^ -T- 2 w)-f- C3 0(37 -f- 4w),

Ci, c-2, C3 désignant des constantes déterminées. Considérons alors la fonction

(■25) <ii{x)=li o(x)+ À, «f(:P -H 2 to)-|-X3 9 (J7 + 4a)),

où)v,, Ào, ).3 sont des constantes arbitraires. Cette fonction est une intégrale de l'équation : nous allons montrer que l'on peut déterminer les rapports de ces constantes À de telle façon que

(26) <li{x ^ 2 0J)= \X'\){x).

;j. étant une constante convenablement choisie. En effet cette dernière relation s'écrit, en vertu des précédentes (24) et (25)

Ài ç(j7 -1- 2 0))-!- X2 o(.r H- 4 w)-t- X3[ci o(:r)-l- C2 cp(j7 + 2w)-f- C3 (p(ar 4- 4^)] = [jl[X, 'z,{x)-h 1, ^{^ -1-20))-+- ).3 '^{x H- 4aj)] ;

d'où, en égalantles coefficients de ^{x), o{x -h ato), 'o[x -+■ 4f»>)>

I !-lÀi — C|X3=0,

l'ONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 347

L'éliniinalion de Aj, Ào» ^-a cnlrc ces équations donne, pour drlerminer a, Téqualion du Iroisièmc degré

(28) |JL^ — CjtX- Co [i. — Cl = o.

Après que l'on aura pris pour !jl une racine de celle équalion, on tirera des équations (2^) devenues compatibles les rapports de deux des quantités À,, X^, A3 à la troisième, et l'on aura ainsi une intégrale '}(-r) telle que

En parlant maintenant de celle intégrale, comme nous sommes partis de ç(-p), on montrera que l'on peut déterminer des coefficients constants )/, , À',, a', de telle façon que l'intégrale

F(x)= l\'\,{x)^ l'.^ <li(x-h 10)')-+- Xj '\i{cc -+- jo)')

vérifie une relation de la forme

F(,r -f- 2aj';= [ji.'F(a7)..

D'ailleurs celle fonction F(x) vérifie évidemment la relation

F(x -{- -210 )= [iF(x),

puisqu'elle est une somme de trois fondions à qui la vérifient séparément.

On a donc démontré que l'équation possède au moins une intégrale F(.r) admettant deux multiplicateurs constants. Supposons cette intégrale trouvée : alors, conformément à la théorie générale des équations linéaires, on fera le changement de fonction

= Fix)fzcLr, z=^(

dx \¥(x )

z étant la nouvelle fonction inconnue. Cette fonction z vérifie une équalion du second ordre

('9 '^-^S',(x)'^+ff,(x)z = o,

dontles coe.(^\c\cn\.s sonl doublement périodiques, comme form('s rationnellement avec les fonclions /, (jr), /o(^) qui sont dou-

blement périodiques el les quotients

F'(.r) F"(x) F{x)' "F(ry'

qui le sont également. En outre, l'intégrale générale j)' de l'équation donnée étant supposée être uniforme et n'avoir que des pôles à dislance finie, la nouvelle fonction

dx LF(a:) J

possède les mêmes propriétés. L'équation différentielle en ;: possède donc les propriétés caractéristiques des équations de M. Picard : elle admet au moins une intégrale qui est une fonction à multiplicateurs constants. On l'abaissera par le même procédé à une équation du premier ordre qui s'intégrera par une fonction à multiplicateurs constants.

Remarque. — Nous avons supposé, dans notre raisonnement, Ci différent de zéro. Si C4 était nul (équation 28), on aurait

Cl 0(5^)-!- Co 0{X -+- 2(.0) -)- G3 Cp(a7 -f- 4 W)= O.

Alors on supposerait C3 différent de zéro et l'on aurait on poserait

et on déterminerait le rapporta par la condition

<li{x -h 20)) = [i. i(ar),

[JL désignant une constante. Les conclusions sont donc les mêmes. Le cadre de cet Ouvrage ne nous permet pas d'entrer dans le détail des divers cas qui peuvent se présenter. Nous renverrons le lecteur aux Mémoires de M. Picard {Journal de Crelle, t. 90) et de M. Y\o(\ViQ\. {^Annales de V École Normale, S*" série, 1. 1, i884).

214. Retour à l'équation de Lamé. — Prenons comme exemple l'équation de Lamé

— —r^— ^= n(n + 1) pu ^ l, y du'^ ^