FONCTIONS A M U I.T 1 1' L I C A T K U R S CONSTANTS

OÙ II est un enlicr que l'on peut toujours supposer /jos////, car l'équation ne change pas par le changement de n en ( — // — i). Il résulte des théorèmes sur les équations linéaires établis par ]M. Fuclis (') que cette équation a, quel que soit /, une intégrale générale uniforme ne possédant d'autres singularités que des pôles à distance finie. On peut donc alfirmer, d'après le théorème de M. Picard, cjue cette équation est intégrable à l'aide des fonctions à multiplicateurs constants. Voyons quels seront les pôles de ces fonctions et leur ordre de multiplicité.

Soit « = rt un pôle, d'ordre a, d'une intégrale y^ on a, dans le voisinage de ce point,

y = G(« — rt)-«[i 4- Ai(« — a) -^ X.i{u — a)- ^ . . .],

C, A), Ao désignant des constantes. On en conclut

I dy oi Ai-i-2A2(?< — a)-\-...

y du u — a i -f- A ) ( f< — a ) -t- . . .

ou, en développant le second rapport suivant les puissances de li — a,

I dy a 4 .^

,- = h A, -J- Bi ( « — a ) -H . . .

y du u — a

Bi

Différentions par rapport à // ; il vient

I d^y / I dy\' x

y du- \y du) [u — a)'^

I i dy ,

et, en remplaçant — f- par sa valeur, ' ^ ' y du '^

y du- {u — a)- u — a D'après l'équation de Lamé, ceci doit être égal à

(^omnie les seuls pôles de pu sont o et les [)oints homologues, a doit être égal à o ou homologue de o. Gomme la partie prin-

(') Journal de Ci elle, t. 6G, p. 121.