JO CHAPITRE XI. — FACTEURS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS

clpale de pu dans le voisinage d'un de ses pôles est

{u — a)-' on doit avoir

a(a -r- i) = /«(« -i- 1 ), aAi = o.

La première relation exige, puisque a et n sont positifs,

a = /t tt la seconde

Al = o.

Ainsi une intégrale quelconque de l'équation de Lamé admet, comme seuls pôles, les points homologues de o : tous ces pôles sont d'ordre /?. Nous savons d'autre part que l'équalion de Lamé admet au moins une intégrale l'i qui est une fonction à multiplicateurs constants. D'après la formule (8) du n° 202, qui donne une fonction à multiplicateurs constants comme le quotient de deux produits de fonctions H mettant en évidence les pôles et les zéros, cette intégrale jKi est nécessairement de la forme

. , liix -^ ai)U(x -h a-i). . .li(T -T- a„) Vi = A e'"^ — pî

ou, avec les notations de M. Weierstrass,

■^' cf"{x)

Il reste à déterminer les constantes

de façon que cette fonction vérifie l'équalion de Lamé; c'est ce que l'on fera par un calcul analogue à celui que nous avons développé (n" 212) pour le cas simple de /? = i .

L'équation admettra une deuxième intégrale, jo déduite de y, par le changement de .r en — .r. On retrouve ainsi les résultats de M. tiermite.

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS OU FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES DE TROISIÈME ESPÈCE.

21o. Définition. — M. Hermltc a appelé fonction doublement périodique de tioisième espèce une fonction uniforme n'admettanl d'autres singularités que des pôles à distance finie et vérifiant deux équations de la forme

ç(^ + 210) = e«-^+*cp(a7),

rt, b, «', b' désignant des constantes. Les facteurs e«-^+* et e^'^^^' par lesquels la fonction est multipliée quand l'argument croîl d'une période, sont les multiplicateurs de la fonction : ces multiplicateurs sont actuellement des exponentielles linéaires en x. L'étude de ces fonctions a été faite par M. Hermite {Comptes rendus, 1861 et 1862; Journal de Crelle, t. 100); par M. Biehler ( Thèse de Doctorat, 1 879) et par M. Appell {Annales de l'École Normale, ?>" série, t. I, II, III et V). Des exemples simples de ce genre de fonctions sont fournis immédiatement par les fonctions a". H, 0, .... D'une manière générale, la fonction

où le nombre p des fonctions H au numérateur est différent du nombre^ des mêmes fonctions au dénominateur, est une fonction doublement périodique de troisième espèce. Nous verrons plus loin que, réciproquement, toute fonction doublement périodique de troisième espèce peut être mise sous cette forme. Nous donnerons encore deux expressions principales de ces fonctions : l'une, par un quotient tel que (2) de deux produits de fonction H,

3j2 chapitre XII.

inetlant en évidence les zéros et les pôles; l'autre, par une somme d'éléments simples, mettant en évidence les pôles et les parties principales correspondantes.

210. Simplification des relations que vérifie une fonction à multiplicateurs exponentiels. — Soit une fonction o(x) telle que

cp(:F-t- iLû'} — e«'-^+'!''o(a7).

Posons, en désignant par \ et jji. des constantes,

On peut toujours déterminer X et ul de façon que/(jp) admette la période aco, c'est-à-dire ne change pas de valeur quand x croît de 20). En effet on a

/'( a- -f- -2 CD ) , , , ^ , „

et pour rendre cette exponentielle égale à i , il suffit de déterminer A et UL par les deux équations du premier degré

La fonction f{x) vérifie aloi s deux relations de la forme

A et B désignant deux constantes dont la première a pour valeur

, , , , Ma' — a m' A = 4 A(U -h a =

Comme la fonction/(j:) admet la période ao), les deux membres de la seconde relation (4) ne doivent pas changer cjuand x croit de 2to : on a donc

g2 A (0 — 1 ^ -2 A co = — 2 N •<: J, N désignant un entier positif ou négatif. Les relations (4) s'é-

FONCTIONS A ^I r LT I PLI C A T E U n S EXPONENTIELS. 353

crlvcnl alors

Si rentier i\ élail nul la ronclion f{x) serait une fonction aux mulilpliealeurs constants i et e", fonctions que nous venons d'étudier. Nous supposerons donc N différent de zéro. Dans cette hypothèse, on peut encore simplifier un peu les relations cidessus, en prenant comme nouvelle variable • ^

Bw

It — X — -rr^-T—

NtTI

et posant

Cette fonction F(«) vérifie alors les deux relations

C est à cette forme simple que nous supposerons toujours que l'on ait ramené les deux relations vérifiées par une fonction doublement périodique de troisième espèce.