Exemple du cas N = i. — La fonction

(6) E(a)= -f^é^ Hi(m) = — -^ e'^ W {u — tji)

yq Vq

est une fonction régulière en tous les points à distance finie ou ce que Ton appelle encore une fonction entière de u^ car elle se comporte comme un polynôme en tous les points à distance finie. D'après les propriétés de la fonction H,, on a

Hi(m-^2(o) = — Hi(«),

IIi(w -^ 2w')= e '" Hi(i<);

ce sont les formules du n" 70, où nous écrivons 2to et 3to' au lieu de yK et '?/iW . Il en résulte que la fonction E(«) vérifie les rela-

354 ciiAPirni-: xii.

lions

i TZ II

relations de la forme (5) où N= i. Cette fonction entière E(m) est partout finie; elle a les mêmes zéros que H) (m), à savoir : le point M = (0 et les points homologues; il y a un et un seul de ces zéros dans chaque parallélogramme des périodes.

Nous avons donné pour H, (u) la série suivante (p. 1 15)

1 )' ( 2 n H- 1 1 1 TT K

U,(m)= 2 ^ ' ^ '" La fonction E(?^) est donc donnée par la série

"""""^ (n-hl)iTZii

E(i/)= V qnUi+i}e w ,

ou encore, en changeant /« en /? — i,

n nz I