VLII. Trouver le côté BC d’un triangle rectangle en

B, dont on connoit la base ÂB, et la somme des deux côtés.

SoientAB=:a, AC + BC=ô, etBC=x. On aura a’ +

, Z.’ — fl*

= — x)* et x= — — , expression toujours pos-

sible selon le calcul , quoique la solution du problème soit réellement impossible , lorsqu’on propose une valeur d’AB plus grande que celle d’AC-bBC.

' Scholie. Les deux problèmes precedents et le troisième, ainsi que plusieurs autres, font voir que lu supposition de ce llv. XIII et celles du liv. VIII, peu-, vent induire à des solutions fautives : aussi ne doit-on donner pour infaillibles les solutions fondées sur ces hypothèses, qu’après s’en être assuré par des démonstrations rigoureuses, déduites de principes certains , et indépendantes de pareilles hypothèses.

IX. Avec quatre droites données constriut'O mv qua-drilalère égal à une aire donnée.

Représentons le quadrilatère demandé par ABCD,

. l’alre par a, et supposons AB=ô, BC=c,. CD— tZ, , DA=e, et la diagonale AC=x. On aura 7 y/ ((i -bc-t-x) -

|68 PRmCiPES MATHÉMATIQUES,

(^b+c-~x){h — c+x){—b+c+x))+\y/{[d+e+x) {d+e — x){d — e+x)( — d+e+x)) = a : mais la résolution de cette équation seroit pénible.

Autre investigation. Du point C tirez CE, CF, perpendiculaires aux côtés AB, AD, prolongés à volonté. Vous aurez iXCE-feXCF = aa. Prolongez CD versG,

en faisant CG:d::e:ô, ou CG=: — , et par le point G

menez GH=ô et parallèle à AD; tirez CH, et prolopgez CF jusqu’au point I de la droite GH prolongée i volonté. Vous aurez CI :CF::e;i; maisGH = ô; donc le triangle CGH=CAD, et les triangles ABC-fCGH p= a , c’est-à-dire , î ^ X CE -f i ô X CI =a ; donc CE -|-CI

Prolongez CE vers L, jusqu’à ce que EL = -^^^ V

pt achevez le triangle CLM, rectangle en L, et ^ont

l’angle LCM=DCF. Vous aurez CM = CG =^, et

IiM=GI. Soit LM ou GI=z. On aura DF:z::CD:CG,

et par conséquent DF:z::ôte, d’où DF = -^. Et puis-

qu’ A C9 = d* -f e’ -f ae X DF = e* -f 2 iz = ô* -1- c> -iaàXBE, on aura ô’-i-c*-i-2ÔXBE=d’-|-e*-f aiz, et d'-f-c’— i>c* .

7 y Z. Donc Z sera

la différence entre BE et z, ou entre BE et LM. Prenant donc BN= — , et menant MN, LN sera

un rectangle ; d’où l’on voit que pour déterminer le point C, il seroit inutile de calculer la valeur de z.

Construction. Sur AB prenez BN = .^