L’angle des coordonnées étant droit, l’équation
o = appartient au cercle; car faisant
x=u — {&,elj-= 3 — jy, cc qui n’altère en rien l’angle des coordonnées, l’équation sc réduit à o = A
1 1. Soit AB une abscisse u coupée sur ua diamètre,
et BC la moitié s de l’une des cordes divisées également par l’abscisse AB. L’équation entre u et z sera o=A-f- Bh-|-D«’-|-Fz’. Que l’on change d’ordonnée, en posant ED=j', l’abscisse AD=a.', zez=my, BD=ny, et par conséquent u-=x — ny: on aura o=A -t- B.r — nBj--J- Da,’ — a/iDa;y -f (n’D - 1 - équation aux nouvelles
coordonnées.
Comparant celle-ci à l’équation générale o=a-}-oa:-l*
i83 pri>'Cipes mathématiques ,
'y-4-Sar’4'ÊJ^^)'+’\T' J of* verra facilement à quelles conditions la base de celle-ci sera un diamètre. Voici ces conditions : Si le terme manque dans rèqualion, il faut, (jue le terme y manque aussi , jioiir que la base en soit un diamètre; si Sa.' existe , et manque, zxjdoit manquer aussi; si les termes Sx et -^r existent
tous les deux, il faudra que e soit = — ; et si ÿx’ manque, e.t^' manquera aussi. Pour que Sx disparolsse, il faut qu’il n’y ait point de Bu dans l’cujuation o=.A-l- B//q- üu’-i-Fi’ ; ce qui ne peut arriver que lorsque le centre de la hase devient l’origine des absci.sses.
12 . liCs droites qui passent par le centre d’un diamètre de l’ellipse ou de l’hyperbole, sont elles-mêmes de» diamètres; mais il faut en excepter deux dans l’hyperbole, qui ne sauroient la rencontrera (jtielque distance qu’on les prolonge, cl sur lesquelles il est toujours possible de baisser de quelque prdntde la courbe une perpendiculaire plus petite qu’aucune droite proposée.
F.n effet, soient A le centre d’un diamètre de l’ellipse ou de l’hyperbole; AB un axe principal; BAC un angle quelconque différent d’un angle droit; DB une ordonnée quelconque perpendiculaire à AB; DC perpendiculaire à AC ; AB=x ; BD -J'-, AC=u; CD=Z; AF= I ; FG=r, et perpendiculaire sur AB; AG = s: on aura
DE=sz ; CE— fz; n — rz=AE=sx; x =— m ~z;
t t' t t' fl
BE = fx= — « “ s-t-^3 = — M-1 — Z.
s s s s SS
[ parce que s" — /’= i ]. Soit o = A -f- Dx’-l-jy’ l’équation entre les coordonnées AB, BD. Substituant à la
trvRE xm
place tle x ei y leurs valeurs trouve'es, on aura o=A. (/>+i) + (D+/’) U’— 2 (D— i)fuz+ (Df’+Oz'pour l’équalion entre les coordonnées AC, Cl>; d’où, l’on voit que la base AC est toujours un diamètre, ex-ccpté dans le seul cas où D-bC = o mais celle condi-tion, par cela meme que t* est toujours positif, ne peut, avoir lieu que lorsque D. est négatif; et D ne peut devenir négatif, «jue lorsque la courbe est une bvpcrbole,. ce qui est facile à déduire du corollaire 4 ; on ne pourra donc tirer par le centre du diamètre de l’hyperbole, que deux droites, qui ne seront pas des diamètres; et les positions de ces deux droites se trouveront déterminées par les doux valeurs de t [<=+ y/ — D], déduites da la condition D4-t* = 0 .
Puisque D= — C réduit l’équation ci-dessus à o = A (t’-fi) — 2 (D — i) tuz + (D/*-f- 1 ) appartenant à la
base qui n’est pas un diamètre , on aura dans ce cas ;=
D— I , (D— — (Dï’-f-.)A(/>-f 0 .
D?r+r'"±v/ (BFTTr ^ “
~ ^ s’ensuit que l’ordon-
née Z ne cessera d’ètre possible que lorsque (D/’-i-i)A
v/((D/»-fOA (/’+■))
et qu’il n’v a point de valeur de z qui ne soit une ordonnée. Quand on a D/’= — i , l’éqtiation devient o=A — 2 (D — )ln~; d’où l’on volt que dans cette hypothèse, il n’y a point de valeur de u à laquelle ne réponde une ordonnée, ni de valeur de z qui ne soit une ordonnée.
(/'-H Q étant posltif,on prendra U <
Scholie. Les deux droites qui se rapprochent de 1»
«84 PniNCIPES 1MVTJ1ÉH vTIOtJES ,
courbe sans l’alteindrc, s’appellent, par cela mdme,
des asymptotes.
i"). Le centre d’un diamètre quelconque de l’ellipse ou de rinq>crbole est le centre de tous les diamètres, et par conséquent celui de la courbe.
Soient, s’il est possible, A et B les centres de deux diamètres. La droite AB, menée parées deux points, sera un diamètreou une asymptote. Soientd’abord AB un diamètre et CD la moitié de l’une des cordes parallèles , qu’AB doit diviser en deux également. Prenez AE = AD, BF = BD, et menez F.G ainsi que FH parallèles et égales k CDj il suit du corol. 8, que les droites EG, FH , sont les moitiés de deux cordes parallèles à CD. Supposons AD = x, CD=y, et o = a-l-Sx’-l-J'’ l’équation. Parla construction, on doit avoir des valeurs égales de correspondantes à des valeurs inégales de x, ce qui est contraire à l’équation; donc AB n’est pas un diamètre. Supposons AB une asymptote, et soit I un point de la courbe. Menez IL pcrpendiculaii^ à AB, et prenez AM = AL; menez MN perpendiculaire à AB, et = IL; le point N appartiendra à la courbe, ce qui est facile à
j.j . , . . A(C-f-i) + (Dt'-f-i)z*
déduire de 1 équation u— jr ; , troii-
‘ 2 (D — ) iz
Tee dans le corollaire précédent. Coupant BO=BL, et menant OP = lL et perpendiculaire à AB, on démontrera de même, contre la même équation, que le point P appartient à la courbe , et que des abscisses inégales correspondront à des ordonnées égales. Il est donc impossible que deux points A , B, soient à la fois l’origine d’une équation de la forme o=a-f-5.r*-l-j-’ ; d’où il s’ensuit que deux diamètres de l’ellipse ou de l’by-'
LIVitE XIV. i85
perLole ne peUTent avoir qu’un seul et même centre.
14. I-iC calcul du corol. 12 s’applique au cercle, en faisant D= 1 , ce qui détruit le terme — 2 (D — i) tzu de l’équation relative à la base AC, et fait voir que toute droite qui passe par le centre du cercle, est un axe principal. On ne sanroit donc avoir D= i , ni par conséquent — 2(D — i)t«z=o, lorsque la courbe est nne ellipse ou une hyperbole j ce qui prouve que clia- * cune de ces deux courbes n’est susceptible que de deux axes principaux.
III. Cinq points d’une section conique étant donnés, déterminer la courbe.
Soient A , B , C , D, E , ces points. .S’il y en a voit trois en ligne droite, la question seroit impossiblej il faudrolt alors que l’expression de l’ordonnée fût susceptible de trois valeurs, tandis qu’elle n’en admet que deux. On pourra donc supposer que les deux droites AD, BE, menées par deux de ces quatre points, se rencontreront en F, et conduire par le cinquième C la droite CG parallèle à RE, qui rencontrera AD dans un point G. .Soit A l’origine des abscisses , AD la base, et AFB l’angle des coordonnées. L’équation de la combe sera o=x-J-7,y + l’origine A de x et étant la
même, on doit avoir j-=o, lorsqu’on suppose ar=oj ce qui ne peut avoir lieu que lorsque le terme a manque. Soit AF=a, BF AG =c, CG=<I, AD=e, EF=y; Supposant ar==e, et ^ =0, il viendra 0=6-1-
5 e’, et par conséquent 5 =—^: donc o = x-f-7j^^ — ■
— Substituant, dans cette expression , c
au lieu de x, et d aùlieu de^, on trouve o=c+’fd — •
l86 PRINCIPES M.V.THÉMATIQUES,
\-zcd+'^d'^ J substituant a au lieu de a:, et i au lieu
Cl ^
de r, on trouve o = a+-yi \-zab+V,'- et substi-
tuant a à X et — / à j [on écrit — f, parce que la direction de cette ligne par rapport à la base, est con-
traire à celle de i], il vient zaf+%f^,
Moyeiinant ces trois équations, on trouvera les coefficients 7 , e, ", suivant la méthode prescrite à la fin du liv. X, et la courbe se trouvera déterminée.
Scholîes. I. Mettant e au lieu de x, et — — au lieu de
S, on aura o = e+"{jr — e-l-eej--f-"j'’, —
valeur de la seule ordonnée qui corresponde à l’abscisse e, l’autre étant nulle. Si l’on prend =
et parallèle à BE, le point H sera un antre point de la courbe; et divisant DU et BE en deux, parties égales en I et L, la droite LI, qui joint 1, L, sera un diamètre.
