Au lieu de l’équation o = A on pourra
employer j -x’’ pour l’ellipse, ct y’= + +
— x’ pour l’hyperbole ; et si , suivant l’usage, on donne
le nom de diamètre ;i la seule droite qui est aussi une corde, ces deux équations fourniront aa, ai, pour les diamètres conjugués de l’ellipse, et 2 ay/ + i, aiy/ + i pour ceux de l’iivperbole. On ne sauroit donc dire avec propriété qu’il y ail dans l’hyperbole des diamètres conjugués : cependant les géonictrcS'^cnt dans l’usage de donner à u<7 et ai les noms de diamètres conjugués de r hyperbole, en plaçant l’un deux à l’endroit qui lui conviendroit , s’il s’agissoil de l’ellipse, c’esl-à-dite,
comme si 1 équation etoitj'’ =i’
6. liO position des axes principaux se trouve moyennant le calcul du corol. 8 du problème II de ce liv. XIV , ou plus simplement de la manière qui suit.
Soit A B un diamètre quelconque de l’ellipse, C le cen-. tre, et CD le demi-diamètre conjugué à AB. Joignez AD, et prenez CE=CD; prolongez CD jusqu’à ce que CG = CA, et menez EF parallèle à AD ; du centre G avec le rayon GC, décrivez le cercle Cil qui coupera ÇA en H , et faites CI=FG ; joignez lll, et menez CL parallèle à HI et égale à CD ■, divisez l’angle DCL en
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parlics c!galcs par la droits CM: cette droite sera «n axe de la courbe. En voici la diunonstralion.
Tirez LN parallèle à CD, et LO, CP, perpendiculaires à AB; prolongez CD, LC, en prenant CQ = CD, et CR = CL; joignez DL, QR, et supposez AC = a,
CD = A : on aura CF = — , et par conséquent FC = CI = a.^: mais CII : CI:: CN ;L 1 N' donne ^ ^
X CN = Cil X LN , ou bien ^ I — CN,/ =
XCN, et onaiCIT=CP; donc n CD :: LN :NO ;
d’où l’on tire X CN<7 = 2NOxCN : or A*
[r=CL<7] = LN(/-t-CN(/ • — 2NOXCN, donne LN(/-f- CNy — A* = 2NO X CN ^ donc LNr/ -t- CNf/ — A’ =
X CN</ , et par conse'quent LN(^ = A’ ^X
CN/jf ; d’où il s’ensuit que le point L appartient à la courbe, aussi bien que les points Q , R : niais la droite CM est perpendiculaire aux deux cordes parallèles DFj, QR, qu’elle divise en deux egalement; donc CM est un axe principal.
Quant à l’iiyperbole , on peut y adapter la même construction et la même démonstration, en prenant A’
CI = a-f — , et en désignant par A le vrai deml-diamè-
Ire, c’est-à-dire, celui qui rencontre la courbe.
7. Pour déterminer la parabole, il suffit de quatre points donnés; car de ce que la courbe est une parabole, on tire d’abord e’ = 4"^j prenant l’un des quatre points donnés pour origine, on aura trois équations de
I go PRINCIPKS M VTHÊMATIQrES ,
plus ponr les trois autres, c’esl-à-iiire, autant d’e'quations qu’il en faut pour déterminer les quatre coefficients 7, 5 , e, X-
8. Continuant de raisonner de m^me, et faisant attention au nombre de termes dont cliarjue équation alge'- Jjriquf est composée, ou trouvera que pour déterminer une ligne du premier ordre, ou n’a besoin que de 3 points; qu’il en faut 5 pour déterminer la ligne du second ordre, f) pour la ligne du troisième, i4 pour le quatrième, ao pour le cinquième, 27 pour le sixième, ainsi de suite. Les nombres 2 , 5 , 9, 1 4 , 20 , 27 etc., reviennentà ceux-ci, 2, a-|- 5 , 5 - 1-4 > 9 + 5 , i4+6, 20 -f-7 etc. , qui indiquent assez clairement la loi de leur progression.
9. Supjtosons AB une parabole , et AC un diamètre qui ne soit pas axe principal. Désignant la demi-corde BC par^r, et AC par x, l’équation de la courbe sera j-* ~ax [i 4 - 2. corol.]. Soient AD, DE, deux droites dont AD parallèle à BC. Menez DG parallèle AC, BE perpendiculaire à DE , et BF perpendiculaire à DG. Soit BE = z, DE=«, AD=/>, elFG;BF::y;i, BG:BF::
r : I , DIl :DE:;5; I , EH :DE::f : I ; on aura EIl=r«,
DII = su , BH = z — tu , BF = — Z u = — z
— «, r G = ~ Z — M, x=su -f-
■IJt
J BG = — -5 - ^ s
rt
■u-,jr~p
' — — «4- — Z. Substituant — 5 s
rt s
— Zy et
w-| Z au lieu dea;et^ dans réqualionjt'’ = <w;, on
