X. Si l’on rappoite <f"r(x + ^) à x dans

. dT^x+'O . d-r{x+Vi r/'T^x'-fS)

eta tdans jr, , ic dis que -y- = — ,

di" ’ * ^ dx>‘ dz,"

pourvu que dx ne soit pas fonction de x, ni d^ fonc-

tipn de i,

. £fr(r-|-S) . dV{x+'i,) P

Désignant par A, et par B, on

aura

r(x+S-i-£/.r)— r(x--pg) .

A = inCniticœe ou

ïCTO, et

-B=infinitièmeou

c= O. Cela posé, supposons, cc qui est permis, la fluxion d^r=djfj on aura dp suite A=B : mais A, B, ne

LTVUE XV, 20 1

dépendent ni de dx, ni de d\ [ 1 5. dcf. 4 ] ; donc A sera toujours r= B, quel que soit le rapport entre dx et d'i,. Ainsi, puisque A est toujours égal à B , quelle que soit la Valeur de il s’ensuit que les valeurs d’ A et B seront

tontes deux indépendantes, ou toutes deux dépendantes dex+6. Dans le premier cas, on aura dA =c/B = o [i5. 4- scliol.]; dans le second, on trouvera, en raisonnant dA </B , , +

: — ,cest-a-dire, =

comme ci-dessus,

; ainsi de suite.

drx . d^Vx , d^rx .J XI. r;i+ï) =rx+ 6 + Ê-+ e

d^Vx

■^'‘•4-etc.

Supposant i, racine et F (.r-f- %) = Fx A '5+ B4’ -j- -f-

D’5’*-f-elc. , on aura dV [x+'i,)=Adi,+ ‘2Vi'i,ili,-{-'ji^i^dc,

dV{x+ 4 )

•+-etc. , et — ' A-l-'2B4-l~5C^^ + 4P^^~t~etc. Sup-

. ., . , dr(x+’i) dr(x+%) ^ ,

posant X racine, il viendra ; = —,

dx drx

iMl+jCiA+Gic., ce qui donne

dr{x+l)

-A , lorsque %=o:

drx

mais — est indépendant de donc — = A ,

quelle que soit la valeur de %.

Supposant i, racine, et di, indépendant de s,, on aura (x+'S) = 2B</e+2X"C4</4’-fclc. ; et, raisonnant

r/’Tx

comme dans le cas précédent, on trouvera B=

’ . , ^ d^rx

Suivant toujours le même style, on a C = ^ ^ jt/ô ? ’

AVERTISSEMENT VI

d"T!u,x ,z,Plc.) , < . . . 1 . , .

— ; — ; — ; desiane ce qui resultcroit de diviser

duJxdz elc.

d’abord par du la fluxion de T{u,x,z, etc.), prise relativement à la racine tt; et de diviser ensuite par dx la fluxion du quotient, en la prenant relativement à x,

. .J -.TW I d^[u^x'*z^ — au^xz^)

ainsi de suite. Par exemple, -, — ; — ; est =

dudxdz

PROPOSITIONS

XII. Le résultat de l’expression prc’cédente sera toujours le même, quel que soit l’ordre que l’on suive dans les operations.

, d'T(u,x) </’rr«,x)

Je dis d abord que — ; — - — = — -, — ■ — ; carr(M,x) = ^ dudx dxtlu \ '

{a — xyd'^T[u.a) (a — x'S^cPV {ii,a)

dr(u,x) dr(u,n'^ (a — x)d‘‘r[u,a) (a — xY(PV{u,a)

du du

[a —x Yd'T{u,a) aX ùdtddu

-f- etc. ; et

dadu •^dà'du

dudx

dadu

(a — x\PT{u,a) , {a — xfSr{u,a) . dT{u,x)

da^du 'xdcYdu dx

d?[ti,a') (a — x)d^r(u,a) (a — xyd^ r(u,a)

da dà^ 'ida^ *

LITRE XV

(l'Tiihx) d^Tlu,a)

et parlant —

* dxdu dadii

{a — a:)’£/ir(M,a)

nda^du On aara donc

etc. : donc

da'dii

iPr^UyX) d’rjujo:)

dxdu d^\\ti,x,z)

dudx

dzdudx

—, ainsi de suite.

dndxdz dzdudx dxdzdu

d^r(u,x,z) ePr(u,x,z) d^r(u,x,z)

dxditdx dzdxdu dudzdx

XIII. Soient AB l’abscisse, et BC l’ordonne'e correspondantes à l’arc AC de la courbe régulière AD, c’està-dire , d’une courbe dont les coordonne’es sont des fonctions -l’une de l’autre : je dis que, en menant une autre ordonnée quelconque DE , et acbcvnnt le parallclogramine BF, si l’on prend BE pour fluxion d’AB, le parallélogramme BF sera la fluxion de l’aire ACB.

On voit d’abord que étant la valeur de la perpendiculaire baissée du pointe sur la droite BE, ou sur son prolongement, si on représente par q- îc la perpendicu-

laire tirée du point D sur la même droite AE, on aura

CDF . ....

- ■— < K ; mais AB constante et BE infînitième ren-

droient BC constante, -jTp- constante, % innniticrae, et

Ijlh

l’aire CDF infinitième, c’est-à-dire, -j-j-r constante, et