XXXV. Les facteurs trinômes de seront de

la forme x* — 'xax cos îr + a*.

Supposant x" + = o , on aura ^ = — i ==

2 cos ' «

'—■kV-‘ . - — X a“l x’+a’

a X J ax

et par conséquent x* — aax cos iz + a* = o,

ScJiol. I. Les facteurs trinômes que l’on trouve par cette méthode, sont illusoires; mais ils renferment des facteurs binômes réels; car substituant, par exemple, 1 , 2 , 3 , 4 » au lieu de i, on trouvera pour le polynôme X® — a®, les facteurs x’ — 2ax+a’; x’ — -lax cos ^ ■rc + a’; x’ — 2flX cos 5 îc + a’; x’ + 20x+x’, dont les deux x’ — aax+a’ = o, et x*-|- 2ax + a’=o, ne donnent que X — 0=0 , et x+o=o ; d’où il s’ensuit que x® — o®= (x — a) (x+o) (x* — 20X cos -J r + o’) ( x’ — lax cos f w + £i*) = (x*' — -a’) (x’ — 20X cos j w+a’) (x’ — 2ox cos 3 x + o’).

2. De ce que le nombre i est inbni, on ne doit pas conclure que la méthode proposée donne pour le polynôme x" + a“ plus de facteurs trinômes qu’il n’en faut; car en continuant de substituer toujours 1,2, 5 , 5

etc., au lieu de i, on ne fera que revenir li ceux que l’on aura déjà trouvés. Substituant, par exemple 1, 2 , 3 , an lieu de i, on trouve pour les facteurs x“ — •

aox cos x-J-a*; x’ — anx cos | x-ba*; et x+a-, con-

222 PRIWIPES MATHEMATIQUES,

tinuant de substituer encore 4, 5, 6, on trouvera x’ — aax cos g s + a’ , x’ — aax cos | tt + a’, et x’ — aax cos î:+a’, qui reviennent au même, puisque les arcs I X et J îî, ^ IC, et "tu, ont un même cosinus j donc la seconde substitution n’a fait que donner les mêmes facteurs. Ainsi de suite.

XXXVI. Soit P un nombre positif, x^ — px—q^ A q* non > uV > et — ■ - le cosinus d’un arc dêsisné par

^ ' Up P O i

5a: je dis que x = ^ 2 y/

Car la prop. XIX de ce livre donne cos 5a [=(cos a)® — 5 (cos a) (sin a)* = (cos a)® — 5 (cos a) (i — (cos a)’)]

= 4 (cos a)® — 5 cos a ; ce qui, en mettant i ^ V ~

çt '/ à la place de cos a et de cos 3a, donne q=.

ip^p

X® — px.

Schol. Il faut que ^ q' ne soit pas > afin que

^'1 ^ ^ ne soit pas > i ; car, sans cette condition, on

^pVp

auroit un cosinus ^ ^ plus grand que le rayon i, ce qui est impossible.

XXXVII. Tout secteur de cercle est la moitié' dn produit de l’arc qui lui sert de base, multiplie' par le rayon.

Soient ABC le secteur, CD perpendiculaire à AC, BD parallèle à AC, r le rayon, et z l’arc AB; on aura ABC [ — ABDC — BCD = f cos zd sin z — 4 sin z cos z = y cos zd sinz — ^/{cos zd sin z+ sin zd cos z)=f cosz