AB + BC — AC BC
AB X cos ABC ^
Car BF = [ce qui est facile a demon-
cos
trer]= [i3. d’où l’on tire
ABC= X r, et (c«, J ABC)- [= i
ABC-t -0 ABC- — O r ,
X 3 cos cos = — (cos ABC-f cos o)
- ^ ABf 7 + 2 ABX BC+BCy — AC 7
ABXBC ~
r' ( AB BC Y — ACq ~\ AB4-BC-f AC
4 ^ AB X AC AB-f-BC — AC BC
AB
DÉFINITIONS
VIII. Lorsque deux courbes et deux de leurs tangentes rectilignes aboutissent à un même point, l’angle formé par les deux tangentes s’appelle (juantité de l’angle , que ces deux courbes forment entre elles.
LITRE XVI. a3f
IX. Tout triangle Jonl les côtés sont des arcs de cercles décrits du centre de la sphère, et situes sur sa surface, s’appelle triangle sphérùjue.
X- Si un diamètre de la sphère traverse perpendicu-. lairement le plan d’un cercle qui passe par le centre de la sphère, et se termine à sa surface, les extrémités du diamètre sont les pâles de ce cercle.
PROPOSITIONS
XLV. Soit r le rayon de la sphère, ainsi' que du cercle dont on se sert pour mesurer les angles : je dis que dans tout triangle .sphérique les sinus des côtés sont comme ceux des angles opposés..
Désignant par ABC un triangle sphérique, et par D le centre de la sphère, tirez BD, et du sommet A baissez AE perpendiculaire sur le plan CBD ; du point E , où le plan coupe la droite AE, menez EF perpendiculaire h. BD; joignez AF et levez FG perpendiculaire au plan CBD. Les droites AE, FG, AF, EF, seront situées dans un même plan , vu qu’AE est parallèle à FG : mais BF, qui est perpendiculaire à EF et à FG, doit l’ctre aussi à AF, et d’ailleurs toute tangente au point B des arcs AB , BC , doit y rencontrer perpendiculairement la même droite BF ; donc on aura l’angle ABC = AFE. Or, AE:AF;:sin AFEtsin AEF ; donc AE:sin AB::sin ABC:/"; d’où l’on lire sin AB sin ABC = AEX'‘- On trouvera de même sin AC sin ACB=AEX >'} donc sin AB sin ABC=sin AC sin ACB.
Schol. I. Dans le triangle ABC soit BAC un angle droit. Prolongeant les côtés AB, BC, AC, vers D, E, F, jus-
a3a pRmciPES mathématiques,'
qu’à ce qu’ils deviennent chacun de 90’, on de'montrera sans difficulté' que chacun des arcs DC, EC, FC, doit (îlre de 90", et que par conse'quent les points D, E, F, appartiennent à l’arc DEF d’un grand cercle, dont le point C représente le pôle. Ainsi, les arcs BD, BE, DE, AF, sont les compléments des arcs AB, BC, EF, AC, et par conséquent DE est le complément de l’angle ACB, ainsi que l’angle BDE l’est de l’arc AC. Cela posé, il est clair qu’à l’aide de la proposition précédente, et du triangle BDE [qu’on appelle triangle complémentaire ] , on pourra résoudre la question suivantc: Considérant dans un triangle sphérique rectangle les trois angles et les trois côtés, et connoissant trois de ces six objets, déterminer l’un des trois autres. Mats pour en faciliter les solutions, on pourra avoir recours à cet autre théorème : tang AB=sin AC tang ACB, dont voici l’investigation,
La proportion des sinus donne sin DBE sin BDr=r sin DE, ou bien sin ABC cos AB=rcosACB: mais on a aussi sin ABC sin AB = sin ACB sin ACj d’où
sin ABC sin AB sin ACB sin AC r sin AB
Sin ABC cos AB /• cos ACB cos AB ^ ^
r sin ACB . , „ ,
cos ACB ~ ’ donc r tang AB;=sin AC tang ACB.
Lorsqu’un seul triangle complémentaire ne suffit point pour obtenir de suite les solutions dont on parle, on a recours au second CGII, situé de l’autre côté. Supposons par exemple que le côté AB et l’angle ABC étant donnés, pn demande le côté BC opposé à l’angle droit BAC. Il est visible que les deux théorèmes précédents ne sont pas applicables, ni immédiatement au triangle ABC, ni
