livre xvr

au complementaire BDE ; mais en ayant Pccours à CGIl, l’equation r tang AB = sin AC tang ACB donnera r tang CH = sin GH Ung CGH, c’est-i-dire , r cot BC=cos ABC cot AB, d’où l cot BC = / cos ABC -|- Z cot AB — Ir. Ainsi , tontes les fois que les valeurs du côté AB cl de l’angle ABC seront données en degrés, minutes , etc. , on connoitra celle de BC par le moyen des tables vulgaires de sinus, tangentes, etc.

2. Désignant par A un arc quelconque, on voit que sin A=sin ( i8o“ — A), et que tang A =tang — ( i8o“ — A)j d’où il suit qu’en pareils cas, on peut ignorer souvent lequel de ces arcs A, (i8o° — A), ou — (i8o* . — A), satisfait au problème que l’on a en vue de résoudre. Les propositions suivantes, qui ne sont pas bien difficiles às démontrer, aideront dans plusieurs circonstances à les distinguer. I. Dans tout triangle sphérique, le plus grand angle est opposé au plus grand côté, et le plus grand côté est opposé an plus grand angle. II. La somme des angles est > «8o“, et < 5 X i8o°5 et la somme des côtés est < 5 Go°. III. Dans tout triangle sphérique rectangle, chaque côté de l’angle droit esl> go°, ou < 90°, ou=9o°, selon que l’angle opposé à ce côté est >90”, ou < 90", ou =90°. IV. Le côté opposé à l’angle droit est <90“, lorsque les deux autres sont de la même espèce, c’est-à-dire, lorsqu’ils sont tous deux plus grands on tous deux plus petits que 90° j le côté opposé à l’angle droit est > 90°, toutes les fois que les deux autres sont de différente espèce, c’est-à-dire^ l’un plus grand et l’autre plus petit que 90°. V. Les côtés de l’angle droit seront de différente espèce, si le côte opposé à l’angle droit est > 90“ j et si ce côté est

< go”, les deux autres seront de la même espèce, c’està-dire, tous deux plus grands ou tous deux plus petits que 90°. VI. Chaque cùtê de. l'angle droit, et l’angle adjacent à ce cèté, seront de la même on de differente espèce, selon que le côte' opposé à l’angle droit sera plus petit ou plus grand que 90".

XLVI. Si deux triangles sphériques sont placés de telle manière que les sommets des angles du premier soient les pôles des côtés du second, je dis que les sommets des angles du second seront les pôles des côtés du premier, et que chaque côté sera le supplément de l’angle où il a son pôle.

Soient A, B, C, les pôles de DE, EF, DF. Si on prolonge AB, AC, jusqu’aux points G, H de DE, on aura AG = 9o”, AH =90°, et par conséquent E sera le pôle d’AB. On trouvera de même D, F, pôles d’AC et BC; et puisque DH = 9o°, et GE=9o°, on aura DE-+- GIl [= DH -I- IIE + GH = DH -f GE ] = 1 80” : mais GH =BAC; donc DE-+-BAC= 180°. Si on prolonge B A jusqu’au point I, on aura Bl^qo", AG=9o“, et par conséquent AB-f-GI [=AG — -BG-|-G 1 =AG-|-BI] iSo". Etc.

Schol. Ces triangles s’appellent supplémentaires entre eux.

XLVII. Dans tout triangle sphérique ABC, on a r’ cos BC =r cos AB cos AC -|- sin AB sin AC cos BAC.

Menant du point C l’arc ÇL perpendiculaire sur le côté AB prolongé, s’il est nécessaire, on aura dans les triangles rectangles qui en résultent, cos AL cos CL=r cos AC, et cos BL cos CL=r cos BC, et par conséquent cos BC cos AL = cos AC cos BLt donc cos BC =