LIVRE XVI

LII. La surface de tout triangle splie’rique ABC est à celle de la sphère comme ABC + ACB + BAC — 180* est à 2X36 o°.

Prolongez les c6te's jusqu’à ce qu’ils se rencontrent en D, E, F, en devenant des cercles complets. Par les points C, F, menez un autre cercle CGFII, qui rencontre ABD en G; sur la surface de la sphère et dans des plans perpendiculaires à l’axe CF, décrivez les arcs AA, Et. Les centres de ces deux arcs seront situés dans l’axe CF, et on démontrera facilement que l'extrémité du sinus verse de FA sera le centre d’AA, et que l’extrémité du sinus verse de CE sera celui de l’arc Et'. On démontrera également que la surface décrite par l’arc GE dans une révolution entière autour de l’axe CF, est à la surface CEt comme 50o° sont à l’angle ECG. Nommant donc l’angle DCE, x et ECG, dx, on aura 56o°X sinv CE:CEi:: 56o°:t/ar , ou CEt = (sinv CE) dx; d’où il suit que la surface que l’arc CG décriroit autour de l’axe CF , le point i décrivant l’arc t'E, sera pareillement égal à sinv CG'X.dx: or, la surfaee EGI est plus petite que la différence entre ces deux surfaces, c’est-à-dire.

< ( sinv CG en siuv CE ) dx ■ donc

EGt

< sinv

CG en sinv CE : mais x constant et dx inlinitième rendent sinv CG en sinv CE inlinitième ; on aura

donc alors

CDG— CDE

CEt.

dx [

EGt ~

= infini-

tième, sinv CE] constant, et par conséquent

CEI fluxion de la surface CDE. On démontrera de même que F AH = fluxion d’ ABF : mais les surfaces CEt, FAA, sont égales, ce qui est facile à démontrer^

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donc les triangles CDE^ FAB, sont égaux. Nommons l’angle BAC, a -, l’angle ABC, b -, l’angle ACB, c; et la surface de la splière, S. On aura surface CAFBC :S;:c:

36o“, et CAFBC = X S: mais le triangle CDE=:

' oOo

ABF: donc ABC+CDE= ;r-— X S. Et puisqu’on a