LIVRE XVII

Il est clair que si la courbe n’a que deux brandies qui

se croisent, les coordonnées de l’une eoïncideront aveç

celles de l’autre , lorsque ces coordonnées seront ccnséci j

correspondre au point commun d’intersection , et qii e

l’équation A = o aura alors deux racines égales, sc«it

que l’on prenne x ou j- pour nombre principal. Or»

aura donc B = o et C = o, ce qui est facile à conclure du

corollaire de la proposition Xlduliv. X; et les trois équa»

lions A = o, B=o, C=o, détermineront les coordon-

nées qui correspondent à ce point commun. Soit rl’ab's-

cisse, et s l’ordonnée qui y répondent. Tout comme 1 ’ on.

a conclu au corollaire de la proposition XI du liv. X,

que deux racines égales dans l’équation Fx=o dor ment

drx 1 . . .

-J— =0, on prouvera de meme que trois racine.'', égales

donnent

d^Fx

dx'

= 0; que quatre donnent

ainsi de suite j et que si trois portions de la courbe se croisent, il y aura trois valeurs de x égales à r, et au-

tant de valeurs de égales à î, qui’rendront — = o

ax“ ’ ■’

et =oj que si quatre portions de la courbe se croi-

seqlf, il y aura quatre valeurs de x égales h r, et au-

il ‘d^A

tant de valeurs de y égales à s, qui rendront ^7 = 0,

ainsi de suite. Cela posé, s’il n’y a que

deux arcs qui se croisent, le rapport entre dx el dj qui détermine la position des tangentes, doit se trouver

dans l’équation d'A = d Ç dx + dj-^ — ■

d(^cix+Cdy)z=j^dMx+'Bd^x+dCdj-\-Cdyz=zdRdx+ dCjdr^^dx^ + ¥dxdj+Gdj' = o -, s’il y en a trois qui se croisent, le rapport de dx a. djr , doit se trouver dans l’cqua lion d^A—d{ + F dxdj + Gdj-'^ ) = dEdx ' +

^Edxd^x + dFdxdj- + Fd'xdj- + Fdxd^j- + dGdjr^ + 2Gdjd'j :=Tidx^ + ldx'dj- + hdxdj^ + Mdj-^, ainsi de suite; et il est bon d’observer que ces équations sont les mômes que l’on auroit trouvées, si l’on prenoit les fluxions en regardant dx et dj comme indépendants ■de .r et