LIVRE xvn

cordent arec l’équation — axj' + hx^ = o , tandis **que les dernières ne sauroient y satisfaire; donc il y a dans la courbe un point multiple qui correspond h l’abs* cisse O. Prenant les fluxions sans faire dépendre dx de x ni rfy de^, on trouve rf’ — axj-^+bx^)= ly.y^dj-*

— 2axdjr* — ^aj-dxdj-+ 6 bxdx^ = O X <(y* — o X dxdj- + oy(dx*, équation qui ne détermine rien : mais rf*(j^

— axj-' + bx^) = 'il\ydj-^ — Gadxdj-' + 6 bdx^ — ^ >

donne dx=o ou rf!r= + rfyy/ Ainsi, la première

râleur rfxmo indique une tangente parallèle aux ordonnées.

YI. L’équatji^ d’une courbe étant proposée, trourer ses asymptotes rectilignes.

Soient x l’abscisse, et j- l’ordonnée. La supposition de x’ infini, indiquera, moyennant l’expression Ydx

X, le point où l’abscisse, prolongée à volonté,

ajr

coupe l’asymptote , et donnera en même temps la valeur dy •

de la tangente de l’angle compris entre ces deux

droites.

Soit par exemple l’équation o = 2ai’x-fA*x’ — a'y*, à l’hyperbole : on aura o=aai’rfx+2i’xrfx — là'jdjr.

J, . •. Xdx

, i ; d ou U suit que — ; —

dj oi’ + A’x ^ rfy a+x

sera la portion de la base comprise entre la tangente et

l’origine des abscisses. Supposons x’-j-j'* infini ,et que

par conséquent la distance de l’origine des abscisses an

point de contact augmente à l’infini : on aura x infini , et

rfx a^'jr

PRINCIPES MATHÉMATIQüES,

— - — a — = infini tième •, donc la

a + X x~i- a différence entre a et

x+a ax a+ar

diminnera à l'infini^ et la

l’in.

position de la tangente approchera sans limite de celle de l’asymptote. On voit donc déjà par quel point de la hase on doit mener l’asymptote. Reste donc à déterminer l’angle quelle doit faire avec la base. La

tangente de cet angle sera —, comme 1 expression ^ =

ah^ + h'x ( fl-f i y x+a

a’y aby/{lax+x') a y/ {x^ + '2t

diqne , puisque cette expression se réduit à — lorsqu’on

y suppose JT infini. ^

Soit X l’angle qui détermine la position du rayon

v'^dx

vecteur v, et supposons v infini : l’expression de

la sons-tangente indiquera la position de l’asymptote. Exemples. Soit i’a:=fl. On aura vdx — — xdv , et

— vx = — a; mais v infini rend x infinitième j

v'dx

donc , si du pôle de la courbe on mène sur le côté fixe de l’angle ar, une perpendiculaire égale à a , la droite parallèle à ce côté, tirée par l’extrémité de la perpendiculaire a, sera l’asymptote de la courbe dont il s’agit. Celte courbe s’appelle spirale hyperholique.

„ v'dx

Soit 27i:w=a:, On aura =2ici>*, expression que

V infini rend infinie. Cette courbe que l’on nomme spiraie d’Archimède, ne sauroit donc avoir des asymptotes.

VII. Supposons^ fonction de x, dx indépendant de X, dy—^, dy=zC, etc.

LivnE xni. a47

Que dx dépende on non de x, la valeur de — sera

tonjours la même [i5. déf. 4 ] : donc chacune de ces eipiMsio.. (£ d (£d g)),

ainsi de suite, aura toujours la même valeur: mais dx

indépendant de x rend d d ( -]- d^ \=:

dx dx \ dx dx J

quel que soit dx, dépendant ou indépendant de x,

on aura toujours A=dxd^ , ’R=dx'^d ( -^ d

' dx \ dx dx J

DÉFINITION

Lorsqu’un cercle touche une courbe quelconque de telle manière qu’aucun autre arc de cercle ne puisse passer par le point de contact entre la courbe et le cercle , on dit que dans ce point la courbure de la courbe est égale à celle du cercle, et que le rayon et le • centre du cercle en sont le rayon et le centre de courbure; et la ligne qui est le lieu de ce centre s’appelle développée. ^

PROPOSITIONS

VIII. Soient Z une courbe régulière, et x, y, deux coordonnées faisant entre elles un angle droit: je dis

a48 principes mathématiqües ,

que le rayon de couiLure sera perpendiculaire à la ligne

(<7.r* + rfr’ )’

Z, et =

Supposons AB=ar, BC=y, dx indépendant de ar,

CD= et perpendiculaire à la courbe z, DE le

— dxd*y

lieu du point D, et acbevons les triangles rectangles CDF, DGH. On aura dz^=dx'+dj'; dz:dx::CD:CF j

dydz'

'' -—dx-æy

dz'

CF= J — J et on trouvera de même DF=

— li’”

dydz'

d’ou par conséquent AG=xH 'dxd^'’ — X

dz' , , , J dz'

; — : donc dAG — dx —

d'y' dx

idydzd'z djrd}ydz'

dxd'y dxd'y

dy' idydzd'z dyd\rdz' ^ / C.';

dx dxd'y dxd'y' dx \ ^

ad; d'y

dxd'y ' dxd'y ^ et dDG= — dy —

dx f , adzd'z d^ydz'\

/ adzd'z d^ydz' \

w dyd'y

adzd'z d^ydz'

d'y donc dDE =

d'y' dz dx

dzd'z

'Sdz'd'z

'' ^idx'+dy') d}ydz^ dz^

^ ■ donc dDE = — ", d'y l dxd'y

. . Il n’y a donc entre CD et DE

dxd'y' — dxd'y '

aucune différence qui dépende de x. Les valeurs que l’on vient de trouver pour dAG et dDG, donnent dAG ;dDG:;dj':darj mais il est aussi GH :DG::d^: dx; donc GH : DG:: dAG : dDG 3 d’où il s’ensuit que l’arc DE tou-

Digilized by Googl