LIVRE xvn

che en D la droite CD. Supposons maintenant que le point D soit situe dans un arc IDL qu’aucune droite ne puisse rencontrer en trois points. Menons IM perpendiculaire à la courbe CM. Ces deux lignes se toucheront en I [dém.]; et prolongeant IM jusqu’à la rencontre de CD eh N, on aura CD=DIM [dém.] ; donc CD > DM [ i5. axiom. ] et < DN+NM [ i5. axiom.], et par conséquent MN > CN ; donc le point M [ainsi que tout autre point de l’arc CM] sera situé dans l’intérieur du cercle que l’on décrira du centre D avec le rayon CD, et en dehors de celui que l’on décrîroit du centre N avec le rayon CN. Je dis la même chose de tout autre point de la droite DN. Menant LO perpendiculaire à la courbe MCO, tirant DO, et prolongeant CD jusqu’à la rencontre de LO en P, on aura CDL = LO, et <DO-f- DLj d’où l’on tire CP+PL > LO , et par conséquent CP > PO. Donc le point O, ainsi que tout autre point de l’arc CO, doit se trouver en dehors du cercle que l’on décrira du centre D avec la rayon DC, et en dedans de celui que l’on décriroit du centre P avec le rayon CP. Je dis la même chose de tout autre centre pris sur la droite DP. Or, il seroit inutile de considérer des cercles dont les centres scroient hors de la droite JîPj donc il n’y a point de cercle qui puisse passer par le point C, entre la courbe MCO et le cercle décrit du centre D

dz^

avec le rayon CD; donc CD, et par conséquent — ^ ^ ~

sera le rayon de courbure relatif au point C, lorsque dx ne dépend pas de x. Cela posé, que dx dépende ou non

dz^

de Xj ou aura toujours CD= j-

^dx^d'P

. dx

aSo PRINCIPES MATHÉMATIQUES,

Corol. I- Tout rayon de courbure touche la de'veloppe'e au centre de courbure.

a. La différence entre le rayon de courbure cl la dé- Teloppée est nulle ou indépendante de l'abscisse.

IX. Soient AB un arc de courbe régulière, G le pôle, BC un rayon vecteur, DCE une droite donnée de position, et désignons AB par z, BC par v , et l’angle BCD par U ; je dis que le rayon de courbure, correspondant au

point B, sera=ifz^ ■« Çdiidz'‘ — v^du'd

Menant BE perpendiculaire à DCE, et désignant CE par X, BE par j-, et le rayon de courbure au point B

par R , on aura R. = dz^ "'s ^ — dx'^d^- ^ = dz^ {djd'x

— dxd'y) : mais x=v cos u et y=v sin u; donc dx

cos u-\-vd cos u-=dv cos u — vdu sin u, dy=dv sin u-\-vd sin u = dv sin u-\-vdu cos «, dyxzzz-d^v cos u

— idvdu sin u — vd‘‘u sin u+vdu'^ cos «, et d’'j—d*v sin u + 2.dvdu cos u +vd‘u cos n- — vdu' sin u, et par conséquent dz' \=dx‘'+djr'''\-z=:dv* + v''du‘ , et dyd*x

— dxd'’j”=.^dv'‘du -\-vdvd'u — vdud'v v^did ; donc d^ ( djrd'x — dxd'j-) z=^dz^ "y {v'du^ ’idv'du

vdvd'u — vdud‘'v)—dz^ ■« ^dudz' — v'du'd-^^'^ — K.

Schol. Les géomètres savent par expérience que toute variable dont les valeurs sont susceptibles de différence^ infinitièmes , devient o, ou — , lorsqu’elle passe*de positive à négative. Cela posé, il est visible que tout point d’une courbe régulière, qui en sépare deux concavités opposées, doit avoir o ou — pour rayon de courbure j ce

qui veut dire en d’autres termes, que les points de celte espèce ne sauroient avoir des rayons de courbure.