LIVRE XVIII

Exemples, i. On demande la valeur de {y/ {la^x —

— O. y/ (a*x)) (a — y/ (ax’)) lorsque xr=a. Puis-

que x=a rend ^ rf(y/ (an’x — x4)— (û’x))

r • — 2X^ fly/(a^x) ~] __ 3 I

on aura ^ a

pour la valeur demandée.

2. On demande la valeur de (x -}- nx" + ’ ■ — (n -f i ) x"+') *>3 ( I — xy, lorsque x= i. Puisque x = i rend

^ {dx+nx”+* — (/j- 4 - 0 x"+‘)[=i-|-n(rt+ 2 )x"+' , —

(« + ')’X'’]=0; ^ X)’)[ = 2X— 2]=Oj

é1(2x — 2)=2, il s’ensuit que { n {n + i) sera lÿ valeur deraandc'e.

XV. Trouver les facteurs binAmes d’un polynôme quelconque, formé d’après la définition II du liv. X.

Soit X nombre principal dans l’équation V=o, dont les racines sont égales et en nombre pair; dans l’équation X=o, qui ne renferme que des racines réelles et inégales; et dan*Z=o, où il n’y en a que d’imaginaires. On demande les facteurs binâmes de VXZ.

Soient nn' n" la courbe dont Pt2=j- représente l’ordonnée, AP=x l’abscisse, et X-j- l’équation . Les points B, C, D, etc. , , S , etc. , où la courbe ren contre

l’axe, déterminent les racines positives AB, AC, AD, cto..

2 56 phincipes mathématiques,

et les négatives Ag, A-y, A« , etc. , qui rendent X = o. Ainsi on remarquera d’abord , que cette courbe ue sauroit rencontrer l’axe sans le couper; car si elle ne faisoit que le toucher, comme on le voit en R, 1 équation X=o devroit avoir des racines égales, contre l’bypothèse. Soit m moindre que la plus petite différence entre deux racines quelconques de^ = o, et supposons qu’aucune de ces racines ne soit m, ni multiple de TO. Si l’on prend successivement o , m, an», 5m, 4m, etc. ; o, — m , — am , — 3m , —4m, etc. , pour abscisses, il est clair que j doit changer de signe autant de fois qu’il y aura de racines réelles et inégales : donc chaque changement de signe indiquera une racine réelle : mais il n’y en a point dans Z = o [sup.] ; donc les substitutions de o , m , etc. sans apporter aucun changement de signe en Z, doivent produire en XZ les mêmes changements qu’eu X. Séparant donc le facteur V du facteur XZ [lo. i5], s’il y en a un; mettant Ta; à la place de XZ, et désignant par 8 la différence entre deux racines quelconques de XZ = o, on aura r(x+5) = o • car x+5 sera une racine de rjr = o. Éliminant x entre les deux équations r(x + 5) = o etrx=o, on obtiendra A(S’)=o; car, désignant par a, b, c, etc., les racines de Tx=o, on aura (S — (a — t)) (S— n))(S— («— c))(S— (c— û))elc.=(S— (a— i))(^ + {a— b)) (8— (a— c)) {S+{a—c))etc. =(8’— («—*)*) (û c)’) etc. =o, équation dont on déduira S, en

regardant 8’ comme nombre principal. Substituant —

pour 8’ dans A(S’)=o, on aura encore 0e = o. Soit jc non moindre que chacun des coefficients négatifs de