LIVRE xvin

6 8 = 0 , et non <m: le plus petit S sera > m.

Substituant donc successivement o, m, am, etc., o, — m, — 2 m, etc. , à la place de x dans Fx, on observera autant de changements de signe dans Fx, qu’il y a de racines réelles dans Tx—o. On pourra donc trouver de suite ces racines, soit exactement, soit par approximation. Si, en substituant o , m, 2 m , 5w, etc. , on parvient à un multiple de m plus grand que chacun des coefficients négatifs de Fx = o, il faudra conclure qu’il n’y a plus de racines positives dans Fx=o. On recounoitra de même s’il y en a dans F — x=o, c’est-à-dire, s’il n’y en a point de négatives dans Fx = o.

Les racines réelles une fois trouvées, il sera facile de séparer X de Z.

Venons maintenant à Z. On sait que chaque nombre a deux racines carrées, égales et contraires, et que par conséquent, si A-|-By/ — i est racine d’une équation quelconque, A — — i le sera aussi. Or, l’expérience

a fait voir aux géomètres, que l’impossibilité des racines des équations ne provient que de l’impossibilité de la racine carrée des nombres négatifs : donc, puisqu’il n’y a que des racines imaginaires dans Z=o, si l’on suppose cette équation du degré an, il s’ensuit qu’il y aura dans A(S’)=o un nombre n de racines réelles de la forme — 4®*- Cherchant donc les valeurs réelles de 8* par la méthode connue, et subsiitnant ces valeurs dans une équation xA8-H38=o, que l’élimination de x doit nécessairement fournir, on aura deux valeurs de x pour chaque valeur de S’.

PRINCIPES MATnEMATIOüES ,