IV. Si plusieurs grandeurs sont proportionnelles, on

aura chaque antécédent plus son conséquent à son cou* séquent, comme chacun des autres antécédents plus son conséquent à son conséquent j et si les antécédents sont plus grands que leurs conséquents, on aura aussi chaque antécédent moins son conséquent h son -conséquent, comme chacun des autres antécédents moins son conséquent à son conséquent. Cette proposition est facile à déduire de la définition III, liv. III.

V. Lorsque plusieurs grandeurs seront proportionnelles et homogènes , on aura tous les antécédents pris ensemble à tous leurs conséquents, comme chaque antécédent est à son conséquent.

Soit A:B::C:D. Je dis que A-t-C:B-|-D::A:B. Supposons P sous-multiple de B et moindre que A, et Q aussi sous-multiple de D que P l’est de B. Si P n’entre qu’une ' fois en A, et par conséquent Q une seule fois en C [3. déf. 3] , le tout P-l-Q n’entrera qu’une fois en A-f-C; car l’excès de A sur P doit être moindre que P, et celui de C sur Q moindre que.Q. De même si P-pP entre une seule fois en A, et par conséquent Q-f-Q «ne seule fois en C [3. déf. 5] , le tout P-f-P-f-Q-l-Q, ou bien P-f-Q-l-P-f-Q n’entrera qu’une fois en A-t-C. On prouvera de même, que si P entre trois fois en A, et par conséquent Q trois fois en C , le tout P -f-Q n’entrera que trois fois en A-fC j et ainsi de suite. Mais P -f-Q est aussi sous-multiple de B-f-D que P l’est de Bj [car si l’on suppose B=P-f-P, et par conséquent D = Q-f-Q, on a B-f-D = P-f-P-f-Q -f-Q=P-f-Q-fP-f Q; si l’on suppose B = P-fP-f-P, et Dt=Q-fQ-fQ, on a B-f-D=P-fP-l-P-f-Q-f-Q-}-Q = P-t-Q-f-P-f-Q-f-P-f-Q, et ainsi de suite] : donc A-f-C:B -f-D::A:B.