V. M<(^-(-N<ir-f-0</M,ne peut être fluxion exacte que

, dy~S <i“M dyO rf"N d^O

lorsque = -^=

On démontrera cette proposition comme la IP.

dyP d’^P dyQ

VI. Supposant R =-^, S =-^ -P et T = —~j on aura y'(P<i’j'-t-Q^i’x-l-R'^’ + Sdxdy -f-T<ix*)

=Prf^-f-Q<ix; ce que l’on démontre en prenant la fluxion

266 PRINCIPES mathtÇmatiqites , *

Vir. Pour avoiry {Vd^x+(^dx^} , on fera d’abord jr—dx, el j-dx—dx’'- el a^ant trouvé J’{^‘fy+Q,j‘dx)f on restituera la valeur de^.

Ainsi des autres cas semblables.

VIII. Soit Pdx+Qdx~o, et P, Q, des fonctions homogènes de X, y , c’est-à-dire, des fonctions où la .somme des exposants de x et j- soit la même dans tous les ternies. Si Tdx+Qdy n’est pas fluxion exacte, on écrira zy au lieu de x ; et séparant x de j- dans le résultat, ce qni sera facile à faire, on aura une nouvelle équation qui satisfera complètement à la proposée. Soit, par exemple,(ax-|-èj-)«fx — {7nx+ny)dy=o. Mettant à la place de x, il vient (zdy+ydz) — {mzy

+ny)dy=0, etparconséquent— H ^

^ ^ y ^ az' + {b—m)z—n