Livre *^xx

*D7'+<i'D/J+y’D^ =X. Supposons «D(aj-+(i — «)/>+ (c — s' ) 9) = fl(oD/'+(t'Dp+yD^), c’est-à-dire, eoDjr + o(i — «)D/) + o(c — 9 ')T)(j==:a<s'Dy+a<s'T)p + afIiq: il Tiendra e{b — s)=za«', et <s{c — e') — af, ce qui , encliminant a', donne 0=0^ — acs+h<s* — a*. Posons z — — a)/J+(c — <>')<]> et par conséquent aDj'-J-

a'Dp-p/'Df; = — Dz, etz+— Dz=X: la Yalcur de a a

Z fournira, comme dans le cas précédent, celle d’j", moyennant l’équation cj--|-(A — a)I^-f-(c — a’)D’j' = z. Ainsi de suite.

Schol. I. An'' lieu de réduire la proposée à une équation immédiatement inférieure, celle-ci à une autre plus inférieure, et ainsi de suite, il seroit plus commode de trouver^ de la manière suirante. Soit ay +hHy-\-cTï'j--\-fîi^y = X la proposée: trouves a, a', Z, comme ci-dessus, et les trois valeurs de a vous donneront z’ f z" , z'" , trois valeurs de z; b' , b", i'", trois valeurs de b — a; et c', c", c’" , autant de valeurs de c — a'; et par conséquent les trois équations ajr+b' Djr+c' D’^ = z', ay-\-b" ’Dy+c" D’y=:z", qy+b'" Dy+c'" Dy = z'" ; d’où l’on déduira J-, en éliminant THy et Dy.

2. La résolution de ces équations anx différences, s’applique, sans changer de style, à celle des équations fluxionnaires du livre précédent.

5 . Plus les différences seront petites, moins leur calcul différera de celui des fluxions j et cela sans limite.

3^6 PRINCIPES MATHÈMAtIQüES,

DÉFINITION IV

Soit X an nombre entier quelconque -, n le nombre de termes de la suite a, b, c, etc., h, de nombres donnés; To, Ti, T2, T 3 ,.... T(x+n), une série proposée, et r(x 4 -«)="r(^+”- — i) + ir(x+n — a)-f... -)-^rx: en pareils cas, la série proposée se nommera récurrente; a+h + c+.... +h, en échelle de

relation, et Tx le terme général.

PROPOSITIONS

Yl. Tes premiers termes d’une série quelconque étant donnés , examiner si la série est récurrente, et quelle en est l’cchelle de relation.

Soit proposée la série — i, — i, i, 1 1 , 49, 179, 601, ctc.On voitdesuite que son échelle de relation doit être composée de plus d’un terme. Désignons-la par a + h-, on aura 1= — a — b , ii=a — b , et par conséquent « = 5 , et i = — 6 ; et on trouvera que l’écbelle 5 — 6 donne exactement les termes suivants, 5 X 1 1 — 6X i = 49 ; 5 X 49 — 6Xii = J79,et 5X179 — 6X49 = 601.

Soit 1 , 1, I, 2, 4 , 6, 7, 7, 7, 8, 10, 12, i 5 , i 3 , i 5 , i 4 ; ï6, etc. , 1 a série proposée. On trouvera d’abord que toute échelle à deux ou trois termes seroit insuffisante. Essayons-cn quatre : a-l-J-f-c-prf donnera 4 = 2a+b-\-c+d, 6 = 4°+2^+c -f- rl, 7 = 6a-f-4^4-2C + d, 7 = ’ja-^ 0 >b-\-^c + 2d. Retranchant de la .seconde équation la première, et du double de la troisième la quatrième, on aura 2 = 2a + b , 7==5a-t-2è, et par -conséquent a = 3 , et 4 = ' — -' 4 . Substituant ces valeurs

litre xt, ■^77

dans la première et dans la troisième, fl viendra a=c 5 = ac+rf, 5 = c , d = — I , et on trouvera que l’échelle 3 — 4 + 3 — i satisfait exactement aux termes suivants. Ainsi des antres cas semblables.

VIL L’échelle de relation et les premiers termes d’une série récurrente étant donnés, trouver le terme général.

Soit 5 61 échelle; — i, — i, *, i ir4î)> etc., la série;

y le tèrme général, ety,jy", les deux termes suivants: on anray'=5y — 6 j-, etj-"— 5y + 6 j-=o: malsy =j- +By , eiy'=y +^/==y+T)y+D{y+Tly)==j+2.V)y +Dy; donc aj- — 5Dj-+Dy=o; équation que l’on peut résoudre d’après le scholie de la proposition V, entre les deux équations ' 2 y — 4Dt‘= 3-'I, et a' — 5Dj-= a^I

lesquelles donneronl^=— X 3^1 — aXa^r, ou plus

commodément J- =5'A+a^B; d’où l’on tirera — i = ■^+®^ • =5A+aB, 1 =A, — a.= B, et enfin Le

terme général j- =5' — a X 2 '.

So‘t'3 — 4 + 3—1 l’échelle, et », i,^ », a, 4 , 6 , 7 ,

7 , 7 , 8 , 10 , etc. , la série : on aura y’ — 3y"' + 4 j'"

+J' = O) Dy+D’j’+Oy = O. Supposant a = Dy et résolvant 1 équation u+Du+D’a = o, on trouvera

Dy[=.]=(z + +

et en attribuant è A, B, d’autres valeurs, J)y=z +

J V — B+C;d’où résulte,

suivantle même style, 7 =:^^ + ^ y 5 ^'A+ —

^^ — ^yB+Cx+E,

= (T+jv/-5)A+(7-iv/-5)B+C+E, .=(-7 + iv/-5)A+(-^-iv/-3)B+

aC+E^ 2=^ — -A — B+3C + Ejj

tiy/

elparcooséqiieiilj'=^i+^/ — 5j

sin X 60*

= y + CQS a; 60° ^/J~'

VIII. A, B, C, E, F, clc. , étant une se'rie recarr rente, et û + 4 +c+etc. son échelle de relation, on aur^ A, Br, Dr*, CH, Er^,Hr 5 , etc., série récurrente, et ar-f ir’+cr^+elc, son échelle de relation.

IX. Toute série récurrente de la forme A+Br+Cr» +etc., dont l’échelle de relation est ar+ir’+cH+..., 4-/ir", peut être regardée comme le quotient d’un polynôme A + i'r+c'r’4-.... + A'r"-‘ divisé par i — ar • — Ar’ — cH — .... — Ar".

Cette proposition est facile à prouver , en supposant successivement n—i, fi = ^> ^ = 4 >

A + A'r+c'r’+etc.

Sfhol. I. Puisque

etc.

est