LIVRE XX

A+Br+Cr’+etc. , il s’ensuit que le terme general de celte série sera égal à la somme de tous les termes généraux qui doivent répondre de la même manière aux

fractions partielles dont seroil la fraction

‘ 1 — ar — etc.

totale ; ce qui offre un moyen facile de trouver le terme

général de toute série dont on connoit les premiers

termes et l’échelle de relation j car chaque fraction

partielle peut être représentée sous celle forme

J et puisque 7- —77 donne

( I — ar)** ' ^ ’ [i

dans le terme général , un terme w(w 4 - 0 (n-f 2)...(j — 1) 1) ... (x-fn i)...(x — • i)x

(x-fi)(jr+a)....(x-f«-— O i.a... (n — I )

G-f Hr-J-I/-'... +P/"

•ar)'

fraction

( 1 — -ar)"

a'r*, il s’ensuit que la; donnera

(x-f i) (x-fa)....(x-f n — 5)

afr* -f etc. = ( A'x*— ‘

-fB'x*“*-f...-fH' )œ*r^. Observons, pour plus de facilité, qu’en désignant par a le réciproque de la racine de l’équation i — ar — br* — .... — Ar" = o, on aura. a racine de l’équation K" — aK."— '■ — iK""’ — .... — h— O.

Exemples. Soit — 1 — r-f r’-f i ir*-f 4grt-f i-gr®-f 601 r®-fetc. la série proposée. Puisque 5r — 6r’ en est l’échelle de relation, et que 5 et 2 sont les racines del’é-

a8o PRINCIPES MATHÉMATIQUES,

quntion R’ — 5 K + 6 = o, le terme general sera AXâ* +BX2*, et par conséquent — i = A+B , — i = jA + aB, A = i, B = — 2, ctAx 3 *+BX 2 '^ = â' — aXa'.

Soit — 2, — G, 8, 4 o, 224,672, 2176, 5760, 15872, etc., la série proposée. Ayant trouvé 4 + 0 — 16+16, échelle de relation, les racines — 2, 2, 2, 2, de — 4R’+ 16K — 16 = 0, indiqueront un terme général de cette forme: (’ — a''^A + 2*(Ba;’+Car+E); donc — a -6 = — 2A + 2B+2C+2E, 8 = 4 A+i 6 B + 8C + 4E, 40= — 8A+72B + 24C + 8EJ c’esl-à-dire, — 2 = A+E , — 5 = — A+B+C+E, 2 = A+ 4 B + aC+E, 5 = — A+9A + 5C+E; d’où l’on tire A = 1, B=i,C = o,E = — 5 , et par conséquent le terme général ( — 2)'+2-^(x’ — 5 ).

Schol. 2. Le terme général qui satisfait aux termes To, Tl , Ta, r 5 , etc., pourra satisfaire aussi à d’autres termes intermédiaires, si l’on y ajoute une expression de cette forme : A sin xt:+B sin Olx-x +C sin 5 a:x+etc. , dont le nombre de termes soit égal à celui des intermédiaires proposés, et pourvu qu’il soit possible de satisfaire à tous ces termes.

Exemple. Ayant trouvé 5 ^ — 2X2-', terme général qui satisfait à la .série ro = — 1, ri = — i,r2=i, 13=11, r4 = 49jr5 = i79,r6 = 6oi, etc., on en

demande un autre qui satisfasse encore aux termes F •^=

3 et F = 2. Supposant ce terme général = 5 ' —

2 X 2'*' + A sin XTz + B sin 2arz , les équations

53 2X2^ + Asin 60” +B sin 120° = 3 ,

33 — 2X2*+A sin i 20"+B sin 240” = — 2,