V. Investigation de logarithmes et de puissances

Ix, logarithme de x, veut dire une fonction de x , qui donne toujours la+lb^=l{ab), lorsqu’on substitue denx nombres quelconques a, b , et leur, produit ab à la place de x.

On aura donc li=o.

Au lieu de aa, aaa, aaaa, etc. , on écrira a*, a*, aS , etc.

Puisque h est toujours =o, essayons de donner à

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LIVHE XXI. ' 387

^(i +k) la forme AM+B«’+C«^+Du*+etc. Si cela est possible dans tous les cas, on aura / ( I + au + w*) = aAtt + Au*

+ 4Bh’+4Bu*+ Bu*

+ 8Cu’ + 1 aCu*

+ i6Du*-f etc. :

mais Z(i + au + u’) = Z((i + u)’) = aZ(i + u) ; donc aAu+ (A+4B)u* + etc. = aAu+aBu’+etc. ; A + 4B=r aB; 4B+8C=aC; B+iaC+i6D=aD, etc.j B = — J A; C= J A J D — — i A J E— i A , etc.; et par conse'qnent Z( i + u) = A(u — «''+!«’ — etc. ).

Le nombre A demeurant arbitraire, il s’ensuit que le nombre de systèmes de logarithmes que l’on peut adopter est également arbitraire.

Puisque Z(i-J-u) est = A(u — ju’+ju’ — elc.), on aura aussi Z(i — u) = A( — u — j u’ — i u’ — etc.):

donc Z — ^(i — u)] =A (au-f- |u’-(.

iuS-l-iuï+etc.). Posons

on anrau= , et

L’expression a" [puissance d’a indiquée par n] désigne un nombre dont le logarithme seroit n dans le système qui anroit pour base le nombre a.

L’expression (i -f-u)" étant susceptible de la forme 1 -f nu-|-Au’-f-Bu^-t-Cu*-|-etc. dans plusieurs rencontres, on aura , si cela est possible dans tons les cas , (i-l-2u-pu*)"=i-(.a/iu-f- nu*

-t-4Au*-f-4Au’-P Au*

+ 8Bu^-f- i 2 Bu*-|-etc.

-p 1 6 Cu*-|-etc.;

a 88 principes mathématiques,'

mais ( I + 2M + u’)" = (( I +«)")’ = ( I + nw + Au’ •4- Btt’+ etc.)*=i +2n«+2Au’+ +etc.

+ n’a’ +2nAK^+2«BM*+elc.'.

+ A’u<+elc.j

donc 2A+n’ = n+ 4 A, 2B+2nA=4A+8B, 2C+2nB + A’ = A+ 12B + 16C, etc. ; et par conséquent A

VI. Investigation de la proposition VI du liv.X. Trouver un nombre x qui rende x^+bx+c — o.

x=n+z donne n’ + 3n’2+3nz’+z^ + An+^-2+ c= o; 3n2= — b donnera n’+z’ + c = o. Eliminant t entre ces deux équations, on trouvera n®+c/i’ —

= 0, n = y/(— tC± \/(-î‘=’ + r7*’)); et x = n+z =

n — Etc.