I-fL M

Soient A , G les antécédents , B, D les conséquents, et E, F deux équi-sous-mulliples quelconques de B, D; si A,B,C,D,ne sont pas proportionnels, l’un des sousmultiples, par exemple F, entrera en C plus de fois que E n’entre en A [3. déf. 3]. Prenons G, II équimultiples de E, F, mais à condition que H soit le plus grand mul-

aS PRINCIPES MATHÉMATIQUES,

ti[)le tle F qui puisse entrer en C j on aura G > A. Soient 1, L, M, equiuiultiples de A , G — A et II, mais 1 > lî, et L> B, et prenons N, O, equimultiples de B, D, à condition queN soit > 1, et < 1+L. Puisque I, L, sont equimultiples de A et G — A, on trouvera, en raisonnant comme nous l’avons fait dans la démonstration précédente, que 1 ■+. L est aussi multiple de A -f-G — A, c’est-à-dire, de G, que I l’est de A, ou M de II [const.]. On aura donc I-fL et M équimulliples de E, F : mais et O équimultlples de B, D, sont par cela même équimultiples de E, F, et on a I-J-L>N [const.]; donc AI > Oj car E doit entrer en I-l-L plus de fois qu’en W, et par conséquent F en M plus de fois qu’en O. Soit P aussi multiple de C que I l’est de A , ou M de II : on aura P non< M, et par conséquent > O. Il sera donc possible de trou ver I, P, équimultiplcs de A ,C; N, O, équimultiples de B, D J 1 < IS [const.] , et P > O [dévn. ]; ce qui est contraire à riivpotlièsc : donc F ne sauroit entrer en C plus de fols que E en A, et par conséquent A:B::C:D [5. déf..')].

\II. Quatre grandeurs étant proportionnelles, si l’on prend deux, equimultiples des antécédents, et deux équijuultiples quelconques des conséquents, les quatres gran,deiirs qui en viendront seront proportionnelles.

Soient A:C::C:D ; E, F, equimultiples de A, C;