LIVRE III

I ^Ljéquîmulliplcs de E, Fj G,II,equimulliple.sdeB, D, et M, N , équimuhiplcs de G, H : je dis que I sera > M, toutes les fois que L sera > N ; ou I < M , lorsque L < N.

Supposons I>M, et P, Q, équi-sous-mulliplcs de B, D, mais à condition que P, moindre que A , puisse entrer dans la moitié de I — M plus de fois que A n’entre en I. Prenez R multiple de P, moindre que A, sans titre < A — R J et S aussi multiple de R que I l’est de A. Retranchant R de I autant de fois que A entre en I, la somme de tous les restes sera moindre que la moitié de I — M [const. ] : donc I — S moindre que la moitié de I — M, et par conséquent S plus grand que la somme de M plus la moitié de I — M. P entrera donc en S plus de fols qu’en M: mais il est facile de démontrer que Q ne peut pas entrer en L moins de fois que P en S; donc Q entrera en L plus de fois que P en M , et par conséquent Q en L plus de fols qu’en N j d’où il s’ensuit que L>N, lorsque I > M. On démontrerolt de même L < N, lorsque I < M : mais I , E , sont équlmultiples de E, F, et M, N, équimultiples de G, II; donc E:G::F:II.

VIII. Si plusieurs grandeurs’ sont proportionnelles, chaque conséquent sera à son antécédent, comme chaque conséquent est à son antécédent.

EGF II GEHF

Soit A:B::C:Dj je dis que B:A::D:C; car supposant E, F, équimultiples de A,C,etG, H, équimultiples de B,D, on aura E;G::F:H [3. 7] , et par conséquent E > G , lorsque F > H , ou bien E < G , lorsque F < H [3. 2]: donc B:A::D:C[3. 6].

3 O PRINCIPES MATHÉMATIQÜES,

IX. Si plusieurs grandeurs proportionnelles sont ho> mogènes, les antécédents seront entre eux comme leurs conséquents.

Soit A :B::C:D des grandeurs homogènes : je dis que A:C::B:D.

Prenant E, F éqiiimultiples de A, B, et G, H équimultiples quelconques de C, D, on aura E:F::A rB', et G :II::C:D [5. 5. corol. ] ; mais on a A ;B::C;D [sup.] ; dune E:F:;G :II J et par conséquent E>F on E<F, en même temps que G > II, ou G < H : donc A : C:: B:D.

X. Soit dans une série de grandeurs la première è la . seconde, la seconde à la troisième, la troisième à la quatrième, et ainsi de suite, comme dans une autre série de grandeurs la première à la seconde, la seconde

à la troisième, la troisième à la quatrième, et ainsi de suite; je dis que la première et la dernière de la première série seront entre elles, comme la première et la dernière de la seconde.

Dans les séries A , C , E, et B , D, F, soit A:C:;B:D, et C:E::D:F : je dis que A :E::B:F.

Soient Y,Z équimultiples quelconques de A, B ; X,V équimultiples quelconques de C, D; T, S équimultiples quelconques de E, F, maisT plus grand, ou plus petit