LIVRE III. ' 3l

que Y J et supposons R , Q équi-sous-muhiples de X, V, mais R moindre que Y, et moindre que T, et moindre que l’excès de T sur Y , ou de Y sur T. Puisque A ;B:; C:D, on aura aussi Y :X :: Z ;V, et X;T:: V : S [3. 7] ; donc T:X::S:V [3.8].

Supposons Y > T; R entrera en Y plus de fois qu’en T [const. ] : mais Q doit entrer en Z autant de fois que R en Y , parce que Y : X :: Z ; V [3. dëf. 3 ] j donc Q entre en Z plus de fois que R en T : mais Q entre en S autant de fois que R en T, parce que T:X::S: V [ déf. 3. dém.] ; donc Q entre en Z plus de fois qu’en S, et par conséquent Z > S,lorsque Y>T.On trouveroit de même S > Z, lorsque T > Y j donc A:E:;B:F [ 3. 6].

Dans les séries A, G, E, G J B, D, F, H, soilA:C:;B:D, C:E::D:F, et E:G:;F:H : je dis que A:G::B :H ; car les deux séries A, G, E; B, D, F, donnent A:E::B:F [dém.] J donc les séries A;E,GjB,F,H, donneront de même A:G::B:H.

Et ainsi de suite.

XI. Si dans une série de grandeurs la première est à la dernière, la seconde à la dernière, la troisième à la dernière , et ainsi de suite, comme dans une autre série la première est à la dernière, la seconde à la dernière, la troisième à la dernière, et ainsi de suite -, je dis que tous les termes de la première série pris ensemble, moins le dernier terme, seront au dernier terme, comme tous les termes de la seconde pris ensemble, moins le dernier terme, sont au dernier terme.

Dans les séries A , E, B j G, F, D, soit A :B:: G :D, et E:B::F :Dj on aura aussi B:E::D:F [3. 8], et par conséquent les deux séries A, B, E, et G, D, F, donneront

32 PRINCIPES MATmÎMATIQCES ,

A:E::C:F [3. lo] : donc A+E:E::C+F:F [3. 4]; donc les séries A+E, E, B, cl C+F, F, D, donneront A +E:B:;C + F :D [ 3 . lo].

Soient A, E,G,B, et C, F, H, D,les séries; on aura A +E:B:: C+F :D [dém.] : donc les séries A +E, G, B, et C+F, II, D, donneront aussi A+E+G :B;:C+F +II :D.

Ainsi de suite.

Corol. Si deux, antécédents sont équimultiples de leurs conséquents , les quatre grandeurs seront proportionnelles.

Par la définition III de ce liv. III, on a A:A::B:B; donc les séries A , A , A, et B, B, B, donneront A-f-A :A::B-|-B:D. On déduira de même des séries A, A, A, A, et B, B, B, B, A-j-A-l-A;A;:B-j-B-4-B;B«

Ainsi de suite.

LITRE Vf.