A (B+C)=AB+AC

Soient A et B — C deux facteurs : je dis que A(B<

An Af

— JC) = AB — AC; carB — C= [4- i4], et:

par conséquent A (B' — C) — AB— AC [4.9]^

Soient A +B cl C+D deux facteurs : on aura ( A+B ) (C+D) = (A+B)C+ (A+B)D [dém.]— A (C+D), + B (C+ D) [ dém.] = AC + AD+ BC + BD [dém.].

Soient A — B etC — D deux facteurs : onaura(A — B). (C— D)=(A— B)C— (A— B)D[dém.]=A(G— D)s

^ B (C— D) [dém.]=AC~AD— B (C — D^ [dém.] = AC — AD — BC+BD. Pour prouver celte dernière équation , on n’a qu’à y ajouter de part et d’autre le produit BC — BD, ou B (C — D).

Ces exemples embrassent tous les cas semblables.

XIX. Trouver deux nombres entiers, les plus petits possibles, qui soient entre eux comme deux entiers proposés, ou dont le rapportée diffère pas trop du rapport exact entre les deux nombres proposés.

Soient M, X, les deux nombres proposés, M > N , et M non multiple de N. Désignant par a, b, c, etc., p, q,

« + tvT?

r, etc. , des nombres entiers, supposons

— =c-l-— rf-b— ,el ainsi de suite, P P V '

jusqu’à ce que l’on parvienne à un quotient exact. Désignant par etc., des fractions plus petites que Tunité, je dis que les fractions

a ah + i (ai-f-i)c-ba ((ai-j- 1 ) c-t-a) + i

I ' b ’ bc -fl’ (àc-fi)d-f b ’

{{{ab+i) c + a) d+ab + i) e-f(ni-fi) c-fa ((ic-fi) d-fi) e-f bc + i ’

de suite, seront des valeurs approchées de j la seconde

plus approchée que la première j la troisième plus approchée que la seconde , et ainsi de suite jusqu’à la

dernière, qui sera égale à La loi de continuation en est manifeste.

et ainsi

La constraction donne ^ ^ N

litre IV.

cH —

eH — s

elc. : on aura donc^= — , lorsque h sera le dernier < N 1 '

ab + ^

quotient; on — = &,• — = a + -^

c sera le dernier quotient ; — = a 4

-, lorsque

(ab 4- i)c4-«

bc

lorsque d sera le dernier quotient; =«4-

((ab+i) c+ a) d ab -{• I i j •

— ïbc+ijd + b ’ ^ dernier

quotient; ^ = a 4-

__ (((<7& 4-1) c4- a) d + ab 1 ) e + (nb + i) c +a .

((Ac-l-i)d4- b) e + ie4-i ’ que e sera le dernier quotient; ainsi de suite, comme il est facile de s’en convaincre, en exécutant les opérations indiquées.

On aura aussi

ab + ï a I ai-j-i (a&-f-i)c4-g

b I i "X b’ b bc 4-1

1 ((fli-l-i) c-f-o) (nJ 4-i) c-l-a

i(ic4-i)’ (ic4-i)d 4- è bc 4-1

I (( <ii+ i) C+a) r/+ai + l

((ic+ I ) </+è) (èc+i)’ (ic+l)rf+ b

(((ai + i)c + a)rf + ai + i) c + {ab i) c + a

(^{bc + i) d+ b) e + Ac+i

((6c + i) d-^- b) (((ic+ I ) d + i) e+6c + i)’ de suite : où l’on voit que la seconde fraction surpasse la première plus que la troisième; que la seconde surpasse la troisième plus que la quatrième ne surpasse la troisième; que la quatrième surpasse la troisième plus que la cinquième ; que la troisième surpasse la cinquième plus que la sixième ne surpasse

la cinquième ; ainsi de suite. Désignant donc par —

la dernière fraction trouvée [=^dém.]; par ^l’avant-