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^ ü ^ ^ V ^ etc. , et ^ ^ ^ , etc. ;

001; «-/-Ifsep

ce qui prouve que, de deux de ces fractions consécutives, l’une est plus grande et l’autre plus petite que . M

la proposée-^ ; et qu’elles en diffèrent d’autant moins

que leur distance à la dernière on à la proposée est pins petite.

LfVRE IV. 5g

Je dis maintenant que leurs termes sont les plus simples.

Soient x, z, des nombres entiers^ et — une fraction

plus simple, et plus grande ou plus petite que Désignant parcA la différence entre deux grandeurs dont on

, 1 1 /• . a: B arg CA

ne connoit pas la plus forte, on aura — ’X. g- = — —, — :

mais cette diffe'rence ne saurait dtre < donc, si l’on.

i ZO

suppose r < a, on aura — c est- a -dire.

zK — xa

— cA-^ > — [dém. ]. Si l’on suppose z non < a, et X < A , on aura zA > xa, et par consdquent

ZCL

OC

c= — CA — . Donc, soit que l’on suppose z < a,oux < A,

il est impossible que — soit égalé à — , on à Donc le

A. oc

rapport — est réduit à ses moindres termes. Soit — dlfa Z

f iC .O xCBC,

ferenle de — ,et z < 6 : on aura — cA — > -^ cA — : donc Tf 2767

cA-qr;-> - 5 -ca^: Car l’unc des fractions-^, — , jN 6 N 67'

ne

peut être pins grande que sans que l’autre soit plus

petite que Pour saisir plus aisement cette vente,

on pourra désigner ^ par la droite VT; ^ par VS; — X C

par VB., et — ca — par RQ [ figure suivante ].

PRI.\Cn>E8 MATHEMATIQUES ,

Soit Z non < g, et X < B : on aura zB > xgj donc zB — xg X B

' — ~T'®g‘ ' — ••»^S=(B x) z+xz

— xg, et xz n’est pas < xg, ni (B — x) z < z - donc °

zB— xg ne sera P“ < j «= -g < ^, ou< - 1 . Donc

— ^ xM BM Z g^>

donc, toutes les fois que x sera < B, ou z < g, la diffe- X M

rence entre — et^, sera plus grande que la différence . B M „ B

entre j et—. Donc ^ est réduit à la plus simple ex-

pression. On démontreroit de même que — est dans le

même cas, et ainsi des autres.

Soient 19514 et 47^^ les nombres donnes. En se conformant à ce qui Tient d’être dit, on trouyera

4 t^ 19^ no iq 8 ' 88

88 '~*88’^~'*‘ Mettant 4, 9,2, 1, 1, 4, à la place de a, b, c, d, e,f, on^ura y, première valenr ap.