XX. Trouver la racine carrée d’un nombre donne

Les nombres i, 4 ; 9 ; *^^ ^ 5 , 36 , 49 ; ^ 4 ; 81, 100, 10000, 1000000, etc. , sont les carres de 1,2, 3, 4; 5, 7; 8, 9, 10, 100, 1000, etc.

Supposons d’abord que le nombre donné soit > i et < 100 ; par exemple, 76,09582. Puisque ce nombre est >64 et < 81, la racine en sera > 8 et < 9; donc le premier chiffre à gauche de la racine ne peut être que 8. Désignant par x le second chiffre, on aura (8+ar) (8+x) = 8 X 8+2 X 8 X x+xx. Or, cette somme ne doit pas surpasser le nombre proposé; donc 76,59582 — 64 ne

6a PRINCIPES MATHÉMATiQÜES ,

1 2 oo 5 Si

sera pas < aX 8 X x + xx; d’où x < — ’ 0 o ~ ~ t

etc.] , et par conse'quent x doit être ou = o,7, ou < o,7< Supposant x=o,7, on aura 2X8X^+^^= 16X0,7 + 0, 7X0, 7 : or, cette somme, retranchée de 12,3958a, donne le reste 0,70682 ; donc x=o,7. En voici la vériilcation, en 'effectuant à la fois la multiplication et la soustraction :

la

Pour trouver le troîsi ème chiffre de la racine, dcsignonsleparj^: on aura (8,7 +jr) (8,7+j-) = 8,7X8,7 + aX

8,7 Xr+jrj=8X 8+ 2 X 8X 0,7 + 0,7 X 0,7 + a X 8,7 X.T

+jrjr; donc 76,59582 — 8x8+2X8X0,7 + 0,7X0,7 [— 0,70582] doit être > 2X8,7 Xj", et par conséqueat 0,70.582 2X8,7

0,04. Posant ^ = 0,04 , voici la forme du calcul pour vérifier le troisième chiffre de la racine :

[0,04 etc.]. On aura doncj' = o,o 4 , ou

Continuant d’opeVer de même, on parviendra à une racine exacte, si le nombre proposé en est susceptible, sinon, jusqu’au rang décimal convenu d’avance. Ou