XXI. Trouver la racine cubique d’un nombre donné

Les nombres 1 , 8, 27, 64 , i25, 216, 343 , 5i2, 729, 1000, 1000000, etc. , sont les cubes dei, 2 , 5 , 4 ; 5 , 6 , 7, 8, 9, 10, 100, etc.

Soit proposé un nombre < 1000, et > que i, par exemple, 8,755. Ce nombre étant >8 et <27, la racine cubique en sera > 2 et < 3 : donc le premier chiffre à gauche de la racine en question ne peut être que 2. Soit X le second : le nombre proposé ne sera pas < (2+jT)(2-l-x)(2-f-x) [=8-f3X2X2X.r + 3 X 2 X + arara ] j donc 8,755 — 8 > 3 X 2 X 2 X ar, ou

> X : mais

^ n’est pas < 0,06: il est donc

3 X‘aXa 12

possible que x soit =0,06: il faudra donc que la somme 5 X 2 X 2 X 0,06+5 X 2 X 0)o6X o,oC+ o,o6X o,oGX 0,06

ne soit pas > 0,755 : mais x=o,o 6 satisfait à cette con» dition; donc x = o,o 6 j ce qui, en cffcctnanlles opéra~

LITRE IV. - 65

lions indiquées, donne le reste o,oi 3 ii 84 . Avec es reste, et moyennant la première partie 2,06, on trouvera le troisième chiffre de la racine, dont la valeur o,oi 3 i 84

doit être <

Procédant toujours de

même, on obtiendra la racine cubique exacte, si lu nombre propose' en est susceptible; autrement il faudra s’arrêter au rang dont on sera convenu d’avance. Dans l’exemple actuel, le nombre 2,o6io3etc. , sera la racine approchée du nombre proposé, à moins d’un centième millième près. En voici le calcul jusqu’au, second

chiffre significatif:

6 = 2X3; 12 = 6X 2 ; donne 0,06 etc. , second

chiffre de la racine.

Vérification du second chiffre.

o,oi3i84

I2,3636=i2-f 0,06X0,06-1- 6 X 0,06= 12 -h 3X 2X 0,06+0,06X0,06; 0,015184=0,755 — I2,3636Xo,o6

Pour troayer le troisième ,

o,oi5i84

12,7308=1 2,3636+ 0,06X0,06+ 0,06X0,06+ 6X0,06 = 5X2X2 + 3X2X0,06+0,06X0,06+0,06 + 0,06 + o,o6X 0,06+ 3X 2 X 0,06= 3 X2X2 + 6X2X 0,06 + 3X o,o6X 0,06= 5 {2+0,06) (2 + o,6)=3x 2,o6X 2,06; J o,oi3ig4

‘*0®® ,2 ^3o8 — — 0,001 etc., donnera le troisième chiffre de la racine.

Vérification,

6,i8s=2,o6X5j 12,736981 = 12,7308 + 0,001 X 0,001 + 6, 1 8X 0,00 1 = 5 X 2,06 X 2,06 + 3 X 2,06 X 0,00 1 + 0,001X0,00 IJ et 0,000447019=0,013184 — 12,736981 X 0,001 = 0,0 1 5 1 8 — ( 5 X 2,o6X 2,o6X 0,001 + 3 X 2,06 X 0,00 1 X 0,00 1 + 0,001 X 0,00 1 X 0,00 1 ),