LIVRE r. s

donné, H le second, et IL la droite donnée. Menez GI, et sur ce côté faites le triangle équilatéral IGMj prolongez MI, MG, en faisant IN— IL et MO = MNj conduisez, comme dans le premier cas , GP=GO dans la direction du point H , et vous aurez MO = MN , MG = MI [const. ], et par conséquent GO=IN : mais on a IL=; IN et GP = GO [const.] ; donc GP = IL.

III. Si deux triangles ont un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun , je dis que les troisièmes côtés, les angles opposés aux côtes égaux, et les. deux triangles, seront égaux.

Dans les deux triangles ABC, DEF, soit AB=DE„ AC = DF, et l’arc GH = l’arc IL , ces arcs étant décrit», des sommets A, D, avec des rayons égaux, AG=DI., Du sommet C avec un rayon quelconque CM décrivez, l’arc MN j coupez FO=CM [ i. a] , et du centre F avecle rayon FO, décrivez Parc OPj du sommet B, par un. point quelconque Q du premier triangle ,. conduisez la droite BQ, prolongée jusqu’au côté opposé AC; achevez le cercle ILV, et posez le triangle ABC sur DEF, de.manière que le point A tombe sur le point D, le côté AB sur quelque antre point de DE, le côté AC près, de DF, et le point C sur le plan du triangle DEF. Les. droites AB , DE , ayant deux points communs [const.], doivent tomber l’une sur l’autre [ i . déf. 4 } mais ces deux droites sont égales [sup. ] , et le point A est en D. [ const. ] ; donc le point B tombera sur le point E. Or, les droites AC, BC, ayant deux points communs avec le plan de DEF [const.], doivent tomber suc ce même plan [ i. déf. 5] ; donc les points H, R, M, ainsL que la droite BR, et gar conséquent le point Q, tombe-.

6 PRINCIPES MATHÉMATIOUES,

ront aussi sur Je pian de DEF [ i. dëf. 5] ; donc tous les points d’ABC sont dans le plan de DEF. Je dis maintenant que tous ceux de GH doivent tomber sur la circonfe’rence ILV; car autrement il y en aiiroit un, par exemples, qui tomberoit soit en dedans , soit en dehors du cercle ILVj et raen.inl la droite DST, ou DTS, on auroit DS==AG [ t. dëf. G], AG=DI [const.], DI =DT [ I. dcf. G] , et prir conséquent DS=DT, ce qui seroit absurde. Or, le point G est en I [déiu. ] , et l’arc GII=rarc IL [siip. et déf. 8] j donc H sera en L, et par consc'quent le cote AC sur le cùte DF : donc C tombe en F, parce que AC=:DF [sup.]. D’où il s’ensuit que les troisièmes cètës BC , EF, ne feront qu’une seule et même droite j donc BC=EF. Puisque CA tombe sur FD , CM sur FO, CB sur FE, et CN sur FP, l’arc MN tombera de même sur l’arc OP [dem. précédente] ; donc MN = OP, et par conséquent l’angle C = l’angle F [ I. 8]. On démontreroit de même que l’angle ABC= DEF J et puisque les côtés des triangles ABC , DEF, les plans qu’ils entourent , et les angles qu’ils forment, posés les uns sur les autres, se recouvrent parfaitement, il s’ensuit que les deux triangles sont égaux.

Corol. I. Si deux angles rectilignes coupent, selon la déf. 8 , des arcs égaux dans deux cercles donnés , ils couperont aussi des arcs égaux dans deux autres cercles quelconques, décrits de leurs sommets comme centres avec des rayons égaux.

2 . Si deux secteurs, tels que AGH et DIL, ont un angle égal compris entre des rayons égaux, ils seront égaux.

IV. Lorsque les côtés d’un triangle sont égaux, les angles opposés à ces côtés sont égaux.

• LIVRE t, «7

Supposons dans le triangle ABC le côte' AB = AC, et prolongeons AB et AC en faisant CE=BD [i. 2 ] : nous aurons AD = AE. Menons DC et BE. Dans les triangles ADC et AEB, on a AD = AE [dcin.]^ AC = AB [sup.] , et l’angle BAC eommun : on aura donc CD=BE, l’angle ACD = ABE, et l’angle BDC=CEB [ 1 . 5]. Dans les triangles DBC, ECB, on a DB=EC [const.], DC=EB [déni.], et l’angle BDC=CEB [de'm. ]; donc l’anglo DCB=EBC [i. 5]: niais l’angle ACD=ABE [dcm.]; donc l’angle ACB = ABC.