V. Partager une droite donnc'e en deux parties égales

Soit AB la droite donnée. Sur AB construisez les

triangles équilatéraux ABC, ABD, et menez la droite CD. Cette droite divisera AB également en E.

Car CA étant = CB [const.], on a l’angle CAE= CBE [i. 4], ainsi que DAE=DBEj donc l’angle CAD =CBD: mais ces angles égaux sont compris entre des côtés égaux , savoir, entre AC=BC et AD=BD [const.]; donc l’angle ACE=BCE [i. 5]. On aura donc dans les triangles CAE, CBE, le cùio CE commun, CA=;CB, et l’angle ACE=BCE [dém.], et par conséquent AE= . BE [i. 3].

VI. Par un point donné sur une droite quelconque élever une perpendiculaire à cette droite.

Soit BC la droite, et A le point donné. Il s’agit d’élever AF perpendiculaire à BC.

De côté et d’autre du point A prenez AE=AD, et construisez les triangles équilatéraux DEF et DEG; la droite FA, menée par les points F, A, sera la perpendiculaire demandée.

La droite FG devant passer par le point A [r. 5], il

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8 PRINCIPES MATRÉMATIQÛES , 7

s’ensuit que FA fera garlie de FG ; et puisque dans le triangle FDE, les deux cotés DF, EF, sont égaux [const.], on aura l’angle FDA = FEA [i. 4] : mais ces deux angles sont compris entre des côtés égaux, savoir, entre FD=FEetDA=EA [const.]; donc l’angle FAD=FAE [i. 5]. On trouvera de même l’angle DAG=EAG. Or, les droites DF, FE, EG , GD, étant égales à la même droite DE [const.] , doivent être égales entre elles; donc les triangles FDG, FEG, donneront l’angle DFG = DGF, et l’angle EFG=EGF [ 1 . 4 ]; d’où l’on tire DFE =DGE: mais ces deux angles sont compris entre des côtés égaux chacun à chacun, c’est-à-dire, entre DF = DG, et FE=GE ; donc les angles FED, GED, des triangles respectifs, seront égaux [ i. 5]. Les triangles FEA, GEA, ont aussi l’angle FEA=GEA [déiii.] compris entre FE=GEet AE commun , et par conséquent l’angle FAE=EAG [i. 3]; donc l’angle DAF=FAE= EAG=GAD [dém.], et par conséquent chacun de ces angles devra couper la quatrième partie de toute circonférence décrite du centre A avec un rayon quelconque ■J r. 3] ; donc ils sont droits, et par conséquent la droite AF sera perpendiculaire sur BC [ i. déf. g].

Corol. t. Tout diamètre d’un cercle en divise la circonférence en deux parties égales.

3. L’angle dont les côtés sont en ligne droite est égal à deux angles droits.

3. Et tout angle égal à deux droits a ses côtés en ligne droite.

Supposons l’angle ABCE égal à deux angles droits.

Si B A et BC ne sont pas en ligne droite, on pourra , « en prolongeant CB, supposer CBE une ligne droite ,^et