LIVRE I

conclare en conséquence, que l’angle CBE vaut aussi deux angles droits [corol. prccéd.]: mais l’angle ABCE est égal à cette même somme [sup.]; donc ÂBGE=CB£, ce qui est impossible.

4- Une droite tombe perpendiculairement sur nne autre, lorsqu’elle la rencontre en faisant deux angles de suite égaux entre eux.

VII. Si deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet seront égaux; et si les angles opposés par le sommet sont égaux , leurs côtés seront en ligne droite, pourvu que deux de ces côtés soient supposés en ligne droite.

Soient BC, DE, deux droites qui se croisent en A. Chacun des angles BACE et DAEB est égal à deux droits [i. 6. corol.] , et par conséquent BACE=DAEB ; retranchant donc de part et d’autre la partie commune BAE, on aura BAD=CAE.

Supposons l’angle BAD=CAE, et BC un ligne droite : je dis que AD et AE seront en ligne droite.

Car on a d’abord l’angle BAD plus BAE=CAE plus BAE : mais ces derniers réunis font deux angles droits [ I. 6. corol. a ]; donc les premiers BAD plus BAE feront aussi deux angles droits, et par conséquent DA et EA seront en ligne droite [ i. 6. corol. 5 ].

VIII. Si deux droites coupées par nne troisième c font avec elle des angles alternes égaux , ces deux

droites sont parallèles entre elles.

Soient CD, EF, les deux droites, et LB la troisième; et supposons que les angles alternes CAB , ABF, qu’elles forment ensemble, soient égaux; je dis que CD et EF seront parallèles.

lO PRINCIPES MATHÉMATIQUES,

Car autrement elles pourront se rencontrer, par exemple en G. Divisons AB également en H [i. 5 ], et menons la droite GHI en faisant HI = DG. Si l’on joint AI , on aura les triangles AIll, GIIB , dont l’angle AHI sera=GHB [i. 7] : mais les côtés qui comprennent ces deux angles sont égaux cViacun à chacun, c’est-à-dire, AH = HB et HI = HG [const.]; donc l’angle HAI= HBF [i. 5 ] : or, CAH est aussi égal à HBF [sup.] ; donc IIA[=HAC, ce qui est impossible. Donc les deux droites CD, EF, ne sauroient se rencontrer, et par conséquent Sont parallèles [ i. déf. 1 1 ].

Corol. Deux droites sont parallèles, lorsqu’elles forment avec une troisième droite l’un des angles externes égal à l’angle interne opposé du même côté; ou lorsque deux des angles internes d’un même côté valent ensemble deux angles droits.

Car supposant l’angle externe LAD— ABF Interne, et opposé du même côté, on aura LAD— CAB [ 1 . 7], et par consé([uent CAB=ABF : donc CD, EF, seront parallèles [dém. ].

Supposons que ABF et BAD, internes du môme côté, fassent ensemble deux angles droits. Puisque CAB plus BAD font aussi deux angles droits [i . 6. corol.] , on aura ABF plus BAD=CAB plus BAD. Retranchant donc de ces deux sommes égales la partie commune BAD, reste ABF=CAB; d’où il suit que CD et EF sont parallèles ^ [1.8].

IX. Si une droite coupe deux parallèles, les angles alternes seront égaux, les deux internes du môme côté feront ensemble deux angles droits, et l’externe sera égal à l’interne opposé du môme côté.