LIVRE I, I I

Soient DE, FG, parallèles, et B, F. les deux points où elles coupent la troisième AB. J.i deux des angles alternes, comme BCD et CBG, pouvoient ne pas être e'gaux, l’un, par exemple BCD, seroit plus grand que l’autre CBG; on auroit donc BCD plus BCE > CBG plus BCE : mais la première de ces deux sommes Taut deux angles droits [i. 6. corol. ] ; donc CBG plus BCE en feroit une plus petite que deux angles droits^ et par conséquent CE, BG, prolonge'esà volonté, pourroient se rencontrer [i. ax.] : mais cela est impossible [sup.] ; donc l’angle BCD=CBG. Il suit de là que l’angle CBG plus BCE = BCD pins BCE : mais celte dernière somme vaut deux angles droits [ i. 6. corol. ]; donc CBG plus BCE feront aussi deux angles droits.

Or, ACE=BCD [ i. 7] , et CBG=BCD [dém.]; donc ACE=CBG.

X. D’un point donné sur une droite quelconque tirer une droite qui y fasse un angle égal à un angle donné.

Soit AB la droite, A le sommet, etCDE l’angle donné. Sur DE prenez un point quelconque G, et faites DF = DG [i. 2]; menez FG, que vous diviserez également en H [i. 5 ] , et joignez DU. Puisque DF=DG [const.] , on aura l’angle DFH = DGU [1.4] : mais ces angles sont compris entre des cèles égaux chacun à chacun, ■ savoir, entre DG = DF et GH = FH [const.]; donc l’angle DHF=DHG [i. 5 ] , et par conséquent DH perpendiculaire à FG [1.6. corol.]. Prenant ensuite AI = DH [i. 2], et levant IL perpendiculaire sur AB [1.6], et égale à FII [i. 2], menez AL. Dans les triangles lAL, DHF, vous aurez IA=HD,IL=IIF, et l’angle

I a PRINCIPES MATHÉMATIQUES ,

AIL=DHF [const.] , et par conséquent l’angle IAL= UDF [i. 5] ; faisant de mémeLAM=HDG, yods aurez l’angle BAM=CDE.

XI. Par un point donné mener nne parallèle à une droite donnée.

Soit BC la droite, et A le point donné. Par nn point quelconque D, pris sur la droite BC, menez AD, et construisez l’angle DAE=ADB [ i. lo] : la droite AE sera parallèle à BC [ i. 8].