LIVRE IX
DÉFINITION I
Toute série dont on peut augmenter le nombre de termes autant qu’on yeut, soit parce que la loi de con» tinuation en est donnée d’uTance, soit p^irce que le» premiers teimes composent toujours de- la même ma-nlère ceux qu’ils précèdent, s’appelle série conver^ gente, pourvu qu’en se bornant à un nombre donné de premiers termes, on puisse négliger les autres sans erreur considérable. En pareils cas, après avoir écrit assez de termes pour en indiquer la loi de continuation, on désigne la somme de ceux qu’on néglige, par un etCv mis à la suite des premiers termes.
PROPOSITION I
Toute série en proportion continue, dont le premier terme surpasse le second, est convergente.
A, B, étant deux grandeurs homogènes, on pourra désigner toute série en proportion continue, par l’expression A+B+B X ^ +BX ^ X jX^
+ etc. Cela posé, je dis que cette série est convergente, si l’on suppose A>B.
n§ PRlNCrPES MATHÉM-iTIQUES,
. Soit, en effet, A>B, et ^ =c: on aura A+B+Bx
— + etc. =’A(i+c+cc+ccc+etc. ), et chaque terme A
de la çe'rie i +c+cc+ccc+etc. , sera le réciproque de
celui qui lui correspond dans la se'rie i H 1 >1
^ c cc ccc
* +etc. Or, dans l’une comme dans l’autre, chaque terme
est égal au premier, plus le second moins le premier,
plus le troisième moins le second, plus le quatrième
moins le troisième, et ainsi de suite jusqu’au terme qui
le précède; et dans la seconde série, les différences
I , — , , etc., vont toujours en ang-
c cc c ' ccc cc ‘
mentant ; donc la somme de ces différences peut devenir plus grande qu’aucun nombre donné [ 5 . as.]. Soit O une grandeur moindre que A , et que l’on puisse négliger sans erreur considérable. Il sera donc permis de *
supposer dans la série i + etc., un. terme
d > j-r, c’est-à-dire, dO — cdO > A ; d’où -j- >
— ; : mais la valeur de r ne sauroit être plus
d — cd d — cd
\.ccc „
petite que -j- — -f. + etc. , ce que 1 on pourra ve-
nficr en multipliant -z et -3- -f -t- H- -j- -f etc.
d — cd d d d
O I C cc
pard — cdjdonc ^ ^ -H ^ -h etc. ;et parconsé-
quentO > A -h -f etc.^. Il est donc clair que cette
UYRE IX. 11^
dernière se’rîe peut être néglige'e sans errenr considérable : mais elle n’est qae la continnation de la série A( t
+ c-|-cc-l-etc.), depuis le terme ^ [const. ] j doncA+
jg
B + BX - 7 - + etc. [=A(i + c4-cc+ etc.)], doit être
«ne se'rie convergente.
CoroL I, Quel que soit le nombre la serîe i +a+
aa , aaa
T+ix5 + ^5-)r4 + »X5X4X5 +^‘°-'““*°"-
jours convergente.
Soient c un terme quelconque de cette série, et h la
nombre de cens, qui le précèdent, h étant un nombre
entier plus grand que a. La continnation de la série pro-
, , . , ac aac
posee , depuis le terme c , sera c + -, 1 — ; — =
aaac ‘ ,
+ -T — ; — ïT + etc, ; maifi chaque terme de
celle-ci n’est pas plus grand que le terme qui lui corres-.
pond dans la serie c -b j— b — . ,, , +
-b etc. , et celle-ci est convergente
, ac cac
[9. .]i doncc+ +
aaac
( i+.)(&+2)(&.b5) + P" conséquent i -b a -b
aa , aaa aaaa
T + + ^ÔÔX4
2. La série a + ^aaa + ~aaaaa’\‘e\.c.f est convergente tontes les fols que a < 1 .
PRINCIPES MATinÉMATIQÜES , DÉFINITION II.
a , h , étant deux nombres quelconques, et c le nom-
Lre qui rend i +c-f- b— ^ +Ctc. =a,
. ... hbc.c hbbccc
oij désignera la serie i + «c 1 — ■■ -f-
bhbbcccc i , 1 IL • Il
, etc. par a” , et le nombre a* s appellera puis-
sauce d’a indiquée par l’exposant h , ou bien racine d’a
indiquée par l’exposant Dans ce second cas , on écrit
quelquefois ,/ a à la place d’A*", et y/ a s’appelle racine d’n , première ou seconde , etc . , selon que le nombre b est i ou 2 on etc. : on dit de même qu’a* est la première puissance d’a, ou la seconde, etc., selon que
h est égal à 1 on 2 ou etc. Au lieu d’a', et y/ a, on. écrit toujours a et \/ a.
PROPOSITIONS
