LIVRE X. l4l

dont les polynômes dérivés d’après la proposition XI, Beroient également inutiles pour chercher la valeur de z; et vu que tout nombre positif non <o,i rend G positif, il s’ensuit que z<o,t : il faudra donc essayer successivement les nombres 0,01 ; 0,02; o,o3j o,o4j o,o5; 0,06 : mais de tous ces nombres il n’y a que le dernier qui rende G posilifj dune o,o5 sera le troisième chiffre de la racine, et par conséquent a:=7,45 etc.

Suivant le même procédé, qui ne sauroit manquer que dans le cas de racines imaginaires, on pourra pousser l’approximation jusqu’au rang décimal qu’on voudra, ou jusqu’à ce que l’on puisse négliger, sans erreur considérable, l’excès de la vraie racine sur l’approchée.

Soit a’+7,02x’+ i6,o6ar+ 16,08 le polynôme dont on demande la racine.

Comme ce polynôme n’a point de racine positive [10. 10] ,on cherchera celle de a:’ — 7,02x’+ i6,o6x — 16,08 que l’on trouvera=4,o2 exactement, et on conclura que — est racine du polynôme proposé [10. 9].

Soient n un nombre entier et positif, et a racine da polynôme x"+ax^' + ix''~“+ etc.=A. 11 suit de la

définition II de ce liv. X, *1 °g — -sera=x“— ' +

g'x"~’ + Ax^’+etc. =Bjque si Sest racine de B, il sera

^ — g=x^*+/?x"“’+^x"~^+etc. = Cj que si 7 est ra-

cine de C, il sera =x“~’+ etc. , ainsi de suite: et

que a, 6,7, etc. , seront racines de À.

l4a PRINCIPES MATHÉMATlOüES ,

Soit — 5x’ — 2X+ 1 6= G le polynôme dont on de-'

mande la racine. On écrira, suivant toujours le même procédé , i

Le plus petit nombre entier et positif qui rend tontes ces expressions positives, est 5; donc 2 sera le premier chiffre de la plus grande racine positive de G, pourvu qu’il en ait de positives. Supposant donc cette racine =x=z-f-2 , on se servira de G, comme plus haut, pour trouver le chiffre immédiat, ou le premier décimal de la racine. Écrivant donc (( z + 5)z — 2)z+8}

on trouve le premier décimal =o,2 ; et supposant x=s Z +2,2 pour trouver le second, on a . /

z^ + 5 , 6 z^ — o,68z-t- 7,728 j d’où ^

ce qui donne ce second chiffre=o,o8 j et supposant x=z-f-2,28 on procéderoit à la recherche du décimal immédiat; mais ce serait ici en pure perle; car le polynôme G n’a point de racines positives. Aussi dans l’énoncé de la proposition XI, on n’avance point que tous les polynômes ont des racines positives; on affirme seulement que, par exemple, G ne saurait avoir aucune racine positive >3, ni=à5;=2 0u<2; =2,2 ou <2,2; =2,28 ou < 2,28, ainsi de suite; et tout cela est vrai rigoureusement parlant. D’ailleurs , ou auroit