livre T

Corol. Bans tout triangle des angles e'gaux sont opposes à des côtds e'gaux , et des côtés égaux sont opposés à des angles égaux.

XIV. Si deux côtés d’nn triangle sont égaux à deux côtés d’nn antre triangle chacun à chacun, et que l’angle compris entre les premiers soit plus grand que l’angle compris entre les derniers , le côté opposé au plus grand angle surpassera le côté opposé au plus petit j et si le troisième côté du premier triangle surpasse le troisième côté de l’autre , l’angle opposé au plus grand côté sera plus grand que l’angle opposé au plus petit.

Soit dans les triangles ABC, DEF, le côté AB==DE, AC— DF, et l’angle BAC> EDF.

Au point A du côté AB, pas plus grand que le côté AC, faites l’angle BAG=EDF [i. lo]. Puisque AB n'est pas plus grand que AC, l’angle ACB ne sera pas plus grand que ABC [ i. i3] : mais l’angle externe AGC est > ABC [ I. ia]j donc AGC> ACB, et par conséquent AC>AG [ I. i5]. Sur AG prolongée prenez AH = AC=DF, et tirez BH , HC. Les angles BAH , EDF, sont égaux [ const. ] ; mais ils sont compris entre des côtés égaux, c’est-à-dire , entre AH=DF, et AB=DE [snp.J; donc le troisième côté BH sera = EF [i. 5]: mais AG =AH [const. ] ; donc AHC=ACH [ i. 4]> et par conséquent BHC>BCHj donc BC> BH [i. i5], c’est-àdire, BC>EF.

Supposons dans les triangles ILM, DEF, le côté IL= DE, IM = DF, et LM>EF. Si l’angle LIMétoit< EDF, le côté EF seroit> LM[dém.], contre la supposition : si LIM étoit=EDF, le côté LM seroit =EP [ I. 5] contre la supposition ^ donc l’angle LIM > EDF.

l4 PRINCIPES MATllÈMATIQüES ,

XV. Dans tout parallélogramme, les angles oppose's^ ainsi que les côtés opposés entre eux, sont égaux.

Supposez A BCD un parallélogramme, et menez la diagonale BD. Puisque AD est parallèle à BC, et AB pal'allèle à DC [sup. et i. déf. 17]/ l’angle ADB sera =3 DBG [i.p], ainsi que l’angle BDG = ABD; doue l’angle ADG = ABG. On trouvera de même BAD=BGD.

Je dis, en second lieu, que les côtés opposés sont égaux ; car s’ils ne le sont pas, on pourra supposer, par exemple, AB>DG: faisant donc BE=GD, et menant DE, on aura dans les triangles IIDE, CDD, un côté commun BD, le côté BE— DG, et l’angle ABD=BDG [dém.jj donc BDE=GBD [i. 5 ]: mais ADB=DBG[dém.]; donc l’angle BDE = ADB, ce qui est impossible; donc AB= DG Cl AD=BC.

Corol. I. La diagonale partage le parallélogramme en deux parties égales.