BR
sin §
Du triangle KPQ, où QK = CK —
l'angle yA^P = 30^ résulte
CQ == 2x — y et
sm a =
par comparaison des angles dans les triangles BPR et CPQ, se donne ensuite
^ + u = lCQF + lCPQ,
ou
^4-a = 30«-f«4-Z CPQ,
d'où
^ = 30« + / CPQ et
5in ^ = -L ^o.«* CF(? + -Y" sin CPQ; dans cette équation,
stnCPQ = f^^^^^j^. ^osCPQ=y^^-^p^^^-pr^; parla
5) stn fi == 277^-
Si l'on substitue les valeurs de 4) et de 5) dans l'équation 3), on obtient
6) BR = (1 —x)(2x- y) ' X -]- y
Si R tombe du côté de A, Q vient vers H; par conséquent CH est la valeur de y s'obtenant en posant l'expression de BR égale à l'unité, c'est-à-dire que
7) CH=-y,-2x-\-^-\-^^;
enfin
8) CK=y,^2x,
On introduit les valeurs de 6), de 7), de 8) dans l'équation 2) ; il vient
la première partie de la dernuire intégrale est calculée facilement par intégration par parties.
Après cela, la probabilité réclamée suivant l'équation 1), est finalement .^-^^-^^
22. Problème XV. — Sur h trait iVune ellipse sont pris à rohtuiê trois points. Rechercher la cofidition sous laquelle avec Il s r<ii/iuis (h courbure de ces points^ arec certitude, un triangle peut rtic fortnê.
Solution. — Les rayons de courbure des trois points sont désignés par Çi, Çj, ç»; il doit être satisfait à la condition
Qx 4 ^i > Ç.V
ainsi qu'à deux conditions similaires. Si a, b sont les demi-axes
do rollipse,-y- est la plus grande, — la plus petite valeur de q;
par conséquent, les conditions de la question sont certainement remplies quand on a
ou
ou quand on a l'excentricité numérique *<(l-2"^)^
'2^. Problème XVI. — A une ellipse, représentée par les
équations
X = a cos d, y = b sin B,
sont tmnrrs des tangentes en deux points qui répondent à des ralriiis <iii/itraires de 0. Trouver la probabilité pour que le point d'intersection de ces tangentes tombe sur une surface annulaire limitée par deux ellipses données, semblables, semblablenievf placées cou cent riqvement à la première ellipse.
Solution. — Les équations des trois ellipses peuvent être écrites sous la forme :
Si d,, d, sont les arguments des deux points pris à volonté sur la première ellipse, les tangentes en ces points ont les équations :
y = cota u, . X -\ — -. — ^r'
f/ = — coig B^.x -\-
et leur point d'intersection a les coordonnées :
cos-^{e,-i-e,) sin l (6^.-h«,) x = a = » y = b . ;
il se trouve par conséquent sur l'ellipse
Un cas favorable se présente aussi souvent que cette ellipse vient à se trouver entre les deux dernières de 1), c'est-à-dire lorsqu'on a
ou
De cette condition, résulte la probabilité cherchée suivante :
2 71 fjn — 2 «
f (de, de.
f fde, de^
numérateur et dénominateur donnent ici seulement la demiquantité des cas favorables et des cas possibles, parce que l'un et l'autre sont formés sous la supposition e, > e,.
Pour a = 0 et /î == -ô-, comme ce doit être, /> = 1.
24. Les problèmes suivants de ce chapitre traitent des probabilités qui ne sont pas à désigner pour géométriques
(1.1 II- le sens étroit, mais qui y n|tp;ii ii» mimt on tant qu'elles (l»|)(inî('nt (le grandeurs variables d'wwr iiiiiiiît'''fr continue, en partitulici" de nombres. Comme il a «te nuntioiiin' déjà au n" 6, à un intiiil)iT pris arbitrairement, correspond un point dans une droite donnée, et c'est à ce point de vue que ces questions doivent être classées ici.
25. Problème XVII. — Trouver la probabilité pour que réfjuation z* +pz -hq = 0 possède des racines rhlleSy lors'/iir sry coefflcients p, q reçoivent toute valeur '/udronf/m' enfrr / >? /imites respectives it P, dr Q.
Solution. — On considère les valeurs de p, de q comme les coordonnées Xy y d'un point d'un plan; aux combinaisons des valeurs des coefficients, correspondent les points d'un rectangle dont les angles ont les coordonnées zfc P, i (>; la surface de ce rectangle, 4 PC, est une mesure de la quantité des cas possibles.
Mais les racines réelles sont liées à la relation q'^-r- P^ ou
laquelle, lorsqu'on prend le signe inférieur, représente une parabole qui sépare le rectangle mentionné des cas possibles en un domaine des cas favorables et en un domaine des cas défavorables.
a) Est Ç > -j- P*? La parabole a la position indiquée dans la
fig. 10 et le domaine (haché) des Fig- «o.
cas favorables a la superficie
2P(> + 2^P-^P^ = 2Pe+-^P3,
la probabilité demandée est, pour ce cas,
fi) Pour le cas Ç < ^ P*, la parabole prend la position indiquée dans la tigure 11 (p. 38); ie domaine des cas favorables a la superficie
la probabilité correspondante est
iPQ-2.fQ.2\/Q=iPQ-fQ\^Q,
2) /7 l AV£.
Pour le cas limite Q =-j-i^, les formules 1), 2) fournissent
la même valeur, 7t = -^.
Le cas spécial P = Ç = 1 est à traiter par la formule 1)
Fig. n. . , 13 ,,,
qui donne ^ = qT ( )
