Cela dit, y (x) indique pour chaque valeur de x entre a
et b la probabilité d'un événement dépendant de x; ensHite,
di* T est la probabilité d'une valeur déterminée de ic, sise
dx entre a etb; (p{x) . . marque la probabilité pour qu'avec
cette valeur particulière de x l'événement attendu se réalise et
—- ^ l^{x).px
la probabilité de cet événement lors d'une valeur de x arbitrairement choisie à l'intérieur des limites désignées.
3. La fonction (f [x] change-t-elle sa forme dans le domaine des valeurs de x, et la fonction y, (x) est-elle valable pour des valeurs de x entre a, et a^; (f^ (x), pour des valeurs de x entre a^ et a,; ... ff„-\ (x) enfin, pour des valeurs de a; entre a„-i et a„? La probabilité de l'événement attendu pour une valeur de x prise à volonté entre a, et a„ est égale à
4. La probabilité à déterminer dépend-elle de plusieurs grandeurs indépendamment variables à l'intérieur de limites données? On procède comme si tout d'abord toutes les variables, moins une, avaient des valeurs données, et on cherche la probabilité pour une valeur prise arbitrairement de cette seule variable. Avec cette probabilité, on procède de la même manière relativement à une seconde variable et ainsi de suite jusqu'à ce que toutes les variables soient éliminées et la probabilité est exprimée en nombres donnés.
Dans l'application de ces règles au problème X, le calcul pour q se serait présenté ainsi :
18. Problème XI. — Une droite de longueur donnée a est partagée arbitrairement en quatre parties. Trouver la probabilité pour que la somme des carrés de quelques trois parties soit phis petite que le carré de la quatrième partie.
Solution. — Les quatre parties peuvent être désignées par XyyjZ.a — X — y — z. Chacune de celles-ci peut se trouver entre 0 et 3, par conséquent la probabilité d'une combinaison déterminée des valeurs est :
.. ^ dx dy dz 6 , , ,
1) D • — '— ' = — r- dx du dz,
en considération du nombre des permutations des lettres Xf y, z. Les combinaisons favorables ont à correspondre à la condition
2) x''-{-y^-\-z^^(a — x-y-zY
et encore à trois conditions semblablement formées; chacune est remplie avec la même probabilité. Il suffit donc de découvrir et de quadrupler la probabilité de l'une de ces conditions, par exemple de celle notée ci-dessus.
De 2) résultent les relations plus explicites :
^(a — xY — x^
La première s'obtient par la résolution de 2) suivant ^, la seconde par l'exigence que la limite ni de z doit être une quantité positive, de même la troisième par l'exigence que la limite y de y doit être positive. La probabilité totale est donc obtenue en multipliant par 4 l'intégrale de l'expression 1) étendue au domaine des valeurs, limité par les relations 3), c'est-à-dire est
dz
'{a — X — yY — X* — y^
Décompose-t-on la fonction artificiellement divisée en les parties constituantes
Il vient par suite :
P -^fl^" - ''^^ - ^' + i(«- «')*+«:'! l ■ %flt/] d-
et, par intégration par parties, en posant
s'obtient enfin facilement 4) />==6 4-7r— 12/.2.
19. Problème XII. — De n longueurs également longues^ on (iérou/H nrhifrairement de chacune un fr<nfinent; tromper la probfthilifé pour que la r'**"* puissance du nombre de mesure du plus grand fratf}np))f soit plus grande que la somme des r'*™*» puissances des mniihrc^^ de mesure des autres fragments.
Solution. — La longueur commune des longueurs données prise comme unité, soient x^^ x^, ... Xn les longueurs des fragments découpés. La probabilité de quelqu'une combinaison des valeurs de celles-ci est dx^ dx^ ... dxn-
Supposé que le premier fragment soit le plus grand, on doit avoir
et comme chaque fragment peut être le plus grand avec la même probabilité, la probabilité résultant de la supposition susdite n'a besoin d'être prise que n fois; la probabilité totale de l'événement en question est conformément à cela
2) p = n I dœ, 1 i... jda;idcc^,..dx„^
l'intégrale multiple étendue au domaine des valeurs des variables, caractérisé par 1). Par les substitutions
Xf = a?| Çj, Xj^^ = Xi^ ss; ... Xfi^ == x^ ç«, il vient
l'intégrale multiple étendue présentement à toutes les combinaisons positives des valeurs des nouvelles variables ?«,... ?« qui se concilient avec la relation
~ 28 — La valeur de cette intégrale est (*)
et comme de plus \ ^ /
on obtient finalement
Pour r = 1, on reçoit par la formule générale 4)
(') Après introducfcion des limites s'énonce l'intégrale :
Partant de l'intégrale triple générale
»/'=// / ip/— ï yin—l zn—l dx dy dz
se livre, par exécution successive des intégrations avec l'emploi de la formule suivante à démontrer facilement :
en premier lieu
! ^' = -i- Tv-i dx Cy"^-^ {\-x- yT dy
^ r(w) rHr(w + i) r (/) r (m -f h -|- 1)
r(n + l) *r(w + n-fl) * r(/-f m-fn + l)
et lorsque particulièrement 3 est le nombre des longueurs, il vient
manifestement cela ^est la probabilité pour qu'avec trois longueurs prises sous une limite commune il ne puisse être formé un triangle (*).
Pour r = 2, on obtient par l'équation 5)
')ii 1
et pour trois longueurs en particulier
c'est en même temps la probabilité pour qu'avec trois longueurs prises à volonté sous une limite commune un triangle OBTUSANOLE puissc être formé, c'est pourquoi la probabilité d'un triangle acutangle sous les mêmes conditions égale (')
et il est clair que cette marche peut être étendue à des variables nombreuses à volonté, par laquelle on obtiendrait
L'intégrale J, équation 1), de la résolution de laquelle il s'agit, se livre comme cas particulier de la présente intégrale, et cela en posant
r ' par conséquent, on a eifectivement
(*) Comparer au problème VIII, n» 14.
(•) Comparer au problème X, n" 16,
Les deux derniers résultats peuvent être vérifiés facilement par la voie géométrique. A la totalité des combinaisons des valeurs positives des variables x^, a:,, x-, laquelle est caractérisée par
Xt^l, Xi^l, iCs^l,
correspond géométriquement un cube OG (fig. 7), de côté 1; les totalités des combinaisons positives des valeurs des mêmes variables qui satisfont aux conditions
a;,« ^ V + ^sS ^«' ^ -^s' + x^\ x,^ ^ a-,« + x^^
sont représentées géométriquement par trois cônes, qui, en 0, ont leur sommet commun et dont les surfaces de base sont les quarts de cercle AEF, BFD, CDE.
De là résulte, pour la probabilité pour qu'une des conditions susdites soit remplie, ou pour qu'avec les longueurs x^^ a?,, a?., un triangle obtusangle se laisse former, l'expression
comme plus haut.
20. Problème XIII. — Dans les côtés d'un quadrilathe donnée sont pris à volonté quatre points. Quelle est la prohahilité pour que leurs lignes de jonction se couj)€nt dans l'inférieur du quadrilatère?
Solution. — Soit ABCJJ (fig. 8) le quadrilatère donné; AB = a, 30 = b\ CD = c, DA^d.
1. On se représente premièrement deux des points P, Q pris dans des côtés voisins et on pose BP = x, BÇ = y. Un troisième point li est-il choisi maintenant à volonté dans i^Çy
Ainsi, le quatrième point S, lorsque PC et RS doivent se couper à l'intérieur du quadrilatère, peut être pris arbitrairement dans le tracé des lignes PADC dont la longueur est c -{■ d -\- a — X, Le nombre de telles lignes RS est mesuré par (c -\- d -\- a — x) y. — Le troisième point R est-il pris dans P5V Un cas favorable a lieu lorsque S tombe sur le tracé des lignes ADCQ dont la longueur est c -\- d -\- h — y. La quantité de telles droites i?<Sest(c -f d -\-b—y)x.
Comme enfin la quantité des '^ ^
lignes PC qui, sur BA, sur BC, forment les sections x^ y, est exprimée par dx . dy, le nombre des cas favorables, qui résulte de cette adoption, est
\ff\{c-i-d-\-a-x)y + (c-\-d-]-b-y)x\dxdy
I ==±.ab\ab-{-(a-{-b){c-i-d) j.
Des expressions similaires pour les trois couples restantes des côtés contigus, s'obtiennent par permutation cyclique des lettres, savoir :
2) -^bc\b€-{-(b-\-c)(d-{-a)\,
3) ^cd\cd-{-(c-{-d)(a-hb)\,
4) ^da\da-\-{d-\- a) (b + c) j.
2. Maintenant les deux premiers points P, Q' peuvent tomber sur des côtés se faisant face; soit alors CQ' = z. Selon qu'à présent le troisième point R vient à se placer sur BP, BCj CQ\ les situations favorables de <S sont comptées respectivement par
rf + c — ^, a -\- c -\- d — X — Zj a -\- d — x.
Le nombre des cas favorables, qui résulte de cette deuxième adoption, est par conséquent ,
f f \((l -\- (^ — ^)^ -\- (n \- c-\- â —œ — z)b-\- (a~\ d -]-x)2\dûcdz
==-^ac\ac + 2bd-h{a + c){h-{-d)\.
Les points P, Q' sont-ils pris dans une autre paire de côtés se faisant face? De là naissent
6) ^bd\bd-{- 2ca ^ (b -\- d) {c -\- a) \
cas favorables.
Les cas favorables sont épuisés ; seulement les expressions 1) à 6) doivent être multipliées par 4, puisque P peut être permuté avec Q et R avec S
Comme maintenant les cas possibles sont comptés par (a -\- b -\- c -\- d)*, la probabilité demandée est
^2(ab -\- ac + ad -\- bc + bd -^ cdf —iabcd . ^ {a + b + c-\-dy
Pour un parallélogramme, oîi a = c, b = dji\ vient
{a^ -\- 4:ab + b^Y — 2a^b^
et pour un losp ige
^ S(a -\- by
21. Problème XIV. — Dans chaque côté d'un triangle régulier est pris à volonté un point. Trouver la probabilité pour que les trois points déterminent un triangle acutangle.
Solution. — Nous demandons premièrement la probabilité pour qu'en un des trois points, par exemple en P, dans /i(;((ig. 9), un angle obtu prenne naissance; si nous appelons celle-ci q^ la probabilité réclamée est
Manifestement il suffit de limiter en premier lieu le point P à la moitié CM du côté BC. Pour le dessein du compte des cas favorables on joint P à ^ et mène PH rectangulairemeut à FAf PK perpendiculairement h BC,
FJk. U.
Maintenant soit Q un point quelconque dans A C; on le joint il /' et l'on mène PR rectangulairement k FQ. On reconnaît sans peine qu'en P un angle obtu prend naissance lorsijue le troisième point ^' toinltc dans l'étendue Bit. Relati veinent à la situation de Ç, trois cas sont à distinguer. Ç est dans CH: toute situation de S dans A B est favorable; Q tombe dans rétendue HK : le nombre des situations favorables de S, comme cela est déjà dit, est mesuré par BB; enfin Q tombe dans la section KA : il n'y a pas de situation favorable de S.
Si l'on pose CP ^ x, CÇ = y, BC=CA = AB= 1, on obtient pour la quantité des combinaisons des trois points, favorables à la naissance d'un angle obtu en P, lorsque P reçoit toutes les situations dans CM, l'expression
j'CH .dx -\-fjBR . dx dy; o u tu
on obtient, pour les situations de P dans MB, la même quantité de cas favorables, et puisque la quantité des cas possibles comporte 1.1 .1 = 1, on a { 2) q = 2j [CH +fBB . dy] dx,
Pour le moment, soit l'angle BPB = a, l'angle BBP = ^: il s'ensuit dans le triangle BPB
sin et
