Problème XVIII. — Utie

équation quadratique de la forme ax^ -h bx 4- c =0 est écrite au hasard, cependant avec des coefficients réels. Quelle est la probabilité pour que les racines soient réelles ?

Solution. — Pour la solution de cette question, un chemin semblable à celui suivi dans la question précédente pourrait être parcouru, et on serait conduit ainsi à des relations stéréométriques. Dans ce qui suit, une solution analytique, fondée sur le procédé donné par Hugh M'Coll (v. n"" 17) est communiquée.

Le " devenir imaginaire „ des racines de l'équation offerte est lié à deux et seulement à deux conditions :

1. que a et c soient écrits égaux; la probabilité de cela est-p- ;

2. que b soit numériquement plus petit que 2 V^^'î 1^, probabilité correspondante est appelée q.

Par suite, on a

(i) L. Lâlânne a donne la voie suivie ici pour la solution do la question présente dans le mémoire, cité déjîi en un autre endroit (n" 16), du Journal de Liouville, 1879; cependant il n'a pas effectué la distinction rencontrée ici des cas «), /S) et a présenté erronément la formule 1) comme valable pour toutes les valeurs de P, de Q.

la probabilité pour que l'équation écrite possède des racines iiiiauinaires. Il reste donc à découvrir seulement y, dans la supposition de valeurs positives de e/, de b^ de c.

En premier lieu, les trois nombres peuvent avoir une limite commune, finie, n. La probabilité pour qu'une valeur de b prise arbitrairement, lors de valeurs particulières de a et de c, satisfasse à la seconde condition, est exprimée, dans cette supposition de limite commune, par

2\ ac du de "^ n n w '

car — — est la probabilité pour que 6 possède une valeur

entre 0 et 2 \ac, et — , — sont les probabilités des valeurs

particulières de a, de c. La probabilité totiile pour que la seconde condition, avec des valeurs quelconques des trois nombres a, b, c, soit satisfaite, égale

1 /*pa {'2\ ac q = — / ^— / — ^^ — .pc; ^ n I n I n '^

les symboles />a, pc sont mis pour da, de, parce que, premièrement, il faut rechercher l'étendue dans laquelle la fonction se trouvant sous l'intégrale est une fraction propre.

Cette étendue est 2 V oc ^ ^

n = ' tant que

— Aitt

Cette condition est sûrement remplie lors des valeurs de a

pour lesquelles « ^ -j- w, parce qu'alors -j— franchit la limite

n de c; au contraire, si l'on a a > -r- n,-. — demeure consé-

quemment sous n, et 2 - — , jusqu'à la valeur c = -j— seule-

ment, est une fraction propre; au delà de cette valeur, une fraction impropre.

Conformément à cela, lorsque d'abord l'intégration est

exécutée par rapport à la variable c, pour a <^ . n, on obtient

1 h \IVc 1 /"2 V^ / 4 /"TT

— / — ^ pc = — / — ~ de — -.— \ / — ;

par contre, pour o^-j- ^i

1 r2\ac 1 I r2\ae, , T. , ) , n

- / —^ pc -= — / — ^ dc-\- / 1 . (Ir\ 1 — —- ;

il en résulte finalement

i-ilfW^p"-^- J{^--^h !

-i\fW^'^^f{^-^H

Si l'on introduit cette valeur dans l'équation 1), on a la

probabilité de racines imaginaires

et de là, la probabilité de racines réelles

l'une et l'autre sont indépendantes de w, par conséquent valables aussi pour une valeur infiniment grande de cette limite (•).

(») Voir dans l'Educ. Tim., tome XIX, page 26, une autre solution qu'a donnée J. J. Sylvbster de ce problème posé par lui.

27. Problème XIX. — Comhlcn grande est In prohahififé pitur <jU(: l'éff nation cubique z* -|- pz -h Q — 0» dont les coefficients peuvent avoir des valeurs quelconques entre les limites nspertives i: P, db Q, fie^ fournisse que des racines réelles?

Solution. — On envisage de nouveau p, q comme les coordonnées jc, y d'un point du plan; le domaine des cas possibles . >t iiniitt , en représentation géométrique, par un rectangle dont les angles ont les coordonnées ± P, ± (> et dont la superficie est donc 4 jPÇ.

Si les racines de l'équation doivent être réelles, les coeffi-

Oou

cients doivent satisfaire à la condition (^ ) + ( .i~)

pour le signe inférieur, cette condition représente une parabole semi-cubique, par laquelle le rectangle, plus haut mentionné, des cas possibles, est séparé en deux domaines, celui des cas favorables et celui des cas défavorables.

Fiif. 12.

a) Est Ç« ^ ^ P»? La parabole a la position indiquée dans la fig. 12 et le domaine (haché dans le dessin) des cas favorables a la superficie

2 T^ 8 Va A

X dx^

la probabilité correspondante est

P) Pour y* < -^ P", la parabole prend la position indiquée

dans la fig. 13 (p. 42); le domaine des cas favorables a la superficie

2PÇ

-.feA.-