PQ
et la probabilité de racines réelles s'exprime par
^\çi
Fltf. i:{.
Pour le cas limite Q^ == ^> P^
les deux formules 1), 2) fournissent la même valeur, savoir
Au cas spécial P = Q = l, \a formule 1) est à appliquer et elle donne
28. Problème XX. — Combien grande est la probabilité pour que toutes les racines de l'équation cuhlqve ax^ + bx + c==0 soient réelles, lorsque les coefficients a, b, c peuvent avoir des valeurs réelles quelconques.
Solution. — De la condition générale pour les racines réelles,
résultent les deux conditions particulières : 1) que « et 6 soient désignés inégaux; 2) quant à la valeur numérique, que soit
^(ib^Y '^\Wa) '
La probabilité de l'accomplissement de la première condition
(•) Comparer à la note du n» 25. Pour le présent problème, Lalannr n'a piis pris en considération la différence des cas «). ?) et a représenté la formule 1) comme généralement valable. Les valeurs spéciales de /7 pour P — Q =i\ (pour des équations quadratiques et cubiques) ont été communiquées par liALANNE déjà en 1876 dans un mémoire (v. Comptes rendus, 1876, page 1847 et pages suivantes).
est -^ ; relativement à la seconde condition, la probabilité
s'énonce o) ; puis, on a la probabilité demandée
La probabilité pour que, lors de valeurs particulières de a et de i, une valeur quelconque de c — supposé que a, ô, c se trouvent sous une limite commune — remplisse la condition susdite, est
J / ^^' y r^g dh n \ 27 a / n n *
par conséquent ^ ,
1 rpa ri /u^W
II reste de nouveau à rechercher l'étendue dans laquelle la fonction sous le signe d'intégration demeure une fraction propre.
L'étendue est ^ / ±hi\l
lorsque <
cette dernière condition est remplie pour toutes les valeurs admissibles de è, lorsqu'on a
3 (-J-I ^ '^ ou a ^ -^ w; par contre, jusqu'à la limite déterminée par 2), lorsque
^ 4 ou a ^ -^ M.
Donc on a pour a ^ -^ w,
et pour a ^ -„„- n,
= 1 il en résulte ensuite
mm''"^j{^-UTyV'
ici l'on peut remplacer dans les deux parties pa par da^ parce que la fonction intégrée dans l'intervalle d'intégration correspondant demeure une fraction positive propre. Après le calcul de l'intégrale, il vient
si l'on substitue cette valeur dans l'équation 1), enfin s'obtient
''-iV'-Tî-
Comme cette expression ne dépend pas de la limite n introduite primitivement, des coefficients, elle est valable aussi lorsque cette limite augmente infiniment.
29. Problème XXI. — Datis l'équation ax* + 2hxy + by* = 1, les coefficients a, h, b prennent des valeurs réelles quelconqves. Avec quelle probabilité la section conique^ représentée par cette équation^ est-elle une ellipse^ est-elle imaginaire ou est-elle une hyperbole^ paHicxdièrement est-elle une hyperbole qui coupe les deux axes coordonnés en des points réels ou ne coupe qu'un ou aucun de ces axes ?
Solution. — Le genre de la section conique dépend des signes de a et de 6 et dépend de la valeur numérique du déterminant ^ = ai — A«.
1) La section conique est une ellipse lorsque a et 6 et ^ sont positifs; par conséquent la probabilité y relative est
1 1 /• r rda (ih dh ^\
Jl l i I — — —
2) La section conique est imaginaire lorsque a et h sont nogatifs et que J est positif; la probabilité y relative est donc l.i mi'ine que la précédente,
8) La section conique est une hyperbole qui coupe les deux axes coordonnés en des points réels lorsque a et h sont positifs et que J est négatif. Conséquemnfient
J^ ^ i' rr da db^ dh b
P'~ 2 ' 2 n 'IT' n ~'Së
" " yâb
4) La section conique est une hyperbole et ne coupe aucun des axes coordonnés lorsqu'on a « < 0, i < 0, ^ < 0; par conséquent
5) La section conique est une hyperbole et ne coupe qu'un des deux axes lorsque a, b sont désignés inégaux; par suite
6) Enfin la probabilité pour que la section conique représentée par l'équation proposée soit en général une hyperbole est exprimée par
30. Problème XXII. — Deux personnes, A, B, s'accordent pour se rencontrer, un certain jour, en un endroit déterminé, mais ne conviennent pas du moment avec plus de précision qu'en ir phtrant entre 2 et S heures; chacune promet^ en cas d'arrivée antérieure, d'attendre Vautre pendant dix minutes* Quelle est la prohnhilité pour que ces personnes se rencontrent?
Solution. — Pour obtenir une solution générale, on considère l'espace de temps dans lequel la rencontre peut avoir
lieu comme unité de temps. Compté du commencement de cet espace de temps, soit x le temps après lequel A, y le temps après lequel B^ au lieu déterminé, arrivent ; par suite, x Qiy peuvent prendre toutes les valeurs entre 0 et 1.
Dès lors, si l'on envisage x Qi y comme les coordonnées d'un point du plan, le domaine des cas possibles est délimité par un carré, dont le côté et la superficie sont 1.
Puis, deux cas sont à différencier.
1. A arrive antérieurement à ^ et attend pendant l'intervalle de temps a ; la rencontre a lieu lorsque
1) œ<iy <^x+ a.
2. B arrive antérieurement à ^ et attend pendant le temps è; la rencontre a lieu lorsque
2) y<oo<y + h.
Pour délimiter le domaine dont les
points correspondent à l'une des conditions 1), 2), on construit (fig. 14) OR = a,OT=b, liS et T U parallèles h ON. Les points à l'intérieur de l'hexagone OTUNSli satisfont à 1) ou à 2j, les points à l'extérieur de l'hexagone ne satisfont à aucune de ces conditions.
Par conséquent, la probabilité d'une rencontre est (')
Pour l'application au cas spécial de la question, il faut poser
^{l-by^a + h-^{a^^ + b^).
-^ et on obtient comme probabilité de la rencontre
(*) H. Laurent donne, dans son " Traité du calcul des probabilités „ (Paris, 1873), page 67, une solution analytique de cette question, solution qui cependant est erronée et conduit à un résultat de forme logarithmique. En désignant l'espace de temps, complet, par T, celui de l'attente par r, Laukknt pose, pour la probabilité pour que Ji rencontre A arrivé plus tôt
(au temps t, calculé du point d'oiigine du temps 7'), l'expression -yrr • ,„ , alors que l'expression devrait s'énoncer ; ' — r
conimo probabilité de la non-rencontre
31 Problème XXIII. — Un diamant brut de poids & est dirisé arbitrairement en deitx, en trois fragments. Su^pposé que la valeur croisse proportionnellement au carré du poids, la valeur mathématiijue, respectivement des deux^ des trois fragments, est à dérourrir.
Solution. — 1. La probabilité pour que l'un des deux
dx fragments ait le poids x, l'autre, donc, le poids a-x, est — ; si
l'on désigne par k la valeur de l'unité de poids, la valeur présumable des deux fragments est
La..-|.(„^.).j'^^=|.ia,,
de manière que la perte de valeur à craindre s'élève à -tt- de
la valeur primitive. Cela correspond à une division réelle en
4 1 deux parties d'environ — et -^ du diamant.
2. Dans le second cas, la solution géométrique s'établit plus intuitivement et plus simplement que l'analytique. L'équation
rapportée à un système de coordonnées rectangulaires de l'espace, échoit à un triangle qui découpe sur les trois axes coordonnés l'étendue a. Si l'on désigne la surface de ce triangle par F,, l'élément attenant au point x, y, z du dit triangle par dFj on a
kC(x^ + y^ + z^)^f
pour l'expression de la valeur mathématique des trois fragments; l'intégrale est à étendre à la surface complète du triangle. Si l'on appelle r la distance du point ar, y, z au pied
de la perpendiculaire dirigée de l'origine sur le plan du triangle /perp. ==0- «V^)' on obtient x^ + y^ -}- z^ = r* + — ; l'expression ci-dessus s'énonce alors
L'intégrale du premier terme à droite exprime le carré du rayon d'inertie du triangle équilatéral 1) par rapport à un axe passant par le centre de gravité de ce triangle et dirigé normalement à son plan; comme a \2 est le côté de ce triangle,
on a
dF a*
et la valeur présumable des trois fragments égale par conséquent
la perte mathématique de valeur s'élève conformément à cela, à la moitié de la valeur primitive. Cela correspond à une divi-
sion réelle en trois parties d'environ -^, -^ et-^ du diamant.
32. La courbe de probabilité. — Dans les questions présentées jusqu'ici sur les probabilités qui dépendent d'une grandeur continûment variable, les valeurs de cette grandeur, entre des limites données, étaient supposées également probables; en conséquence, la probabilité pour qu'une valeur prise à volonté des variables, tombe dans un intervalle désigné, infiniment petit ou lini, était indépendante de la place de cet intervalle par rapport aux limites des variables et était stipulée seulement par la grandeur de cet intervalle.
Mais il y a des cas où les valeurs des variables ne sont pas à priori également probables. La probabilité pour qu'une valeur choisie à volonté appartienne à un intervalle déterminé infiniment petit x .,, x -\- dx dépend alors non seulement de l'étendue dx de cet intervalle, mais aussi de sa place, qui est caractérisée par la valeur initiale x; cette probabilité se ropréseute aualytiquement sous la forme
1) /> = y W dx.
La courbe dont l'oq nation est
2) >j = kff(x)
— k signifie une constante — donne une image intuitive du cours, de la marche de cette probabilité et est dite, pour ce motif, la couKBE de probabilité; elle s'emploie avantageusement, fréquemment dans la solution de questions relatives à la probabilité'.
Si l'on se représente un grand nombre de valeurs de x prises arbitrairement et dans le sens de cette représentation géométrique, projetées comme abscisses, on est conduit, dans Taxe des abscisses, à une série irrégulière de points, qui demeure irrégulière aussi, lorsque la quantité des valeurs de X ou des points croit à l'infini. La multitude, ou compacité ou DENSITÉ des points dans un élément désigné dx, ou la probabilité pour qu'une valeur ultérieure, prise à volonté, de X, tombe dans cet élément, est proportionnelle à l'élément de surface de la courbe 2), à l'élément de surface se trouvant au-dessus de l'élément dx ou, lorsque dx est envisagé comme constant, est proportionnelle à l'ordonnée de la courbe de probabilité, à l'ordonnée correspondante à la valeur initiale de l'élément.
Dans quelques cas, l'abscisse, dont l'ordonnée correspondante divise en deux parties égales l'aire complète de la courbe 2), porte le nom de valeur probable de x.
33. Exemple I. — Deux grandeurs A, B ont été mesurées; chacun de ces mesurages est entaché d'une erreur^ et toutes valeurs de cette erreur^ qui est liée aux limites =t a, sont supposées également probables. Trouver la probabilité pour que r erreur de la somme A -{- B se trouve entre les limites données et trouver la valeur probable de cette erreur.
Solution. — On désigne par x l'erreur du mesurage de Ay par // 1(11(111 de B, et on considère a?, y comme les coordonnées <i iiii point du plan; le domaine des combinaisons possibles des valeurs de a* et de y est rendu percevable par un carré MSFQ (Fig. 15, p. 50) de longueur de côté 2a.
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