Point» daiiK ili^H snrfaroiii

35. Problème I. — Dans une fgxire plane rJont la dêlmitation est formée par une courbe K cenfralement symétrique^ trois points P, Q, R sont pris arbitrairement. Quelle est la probabilité pour que le triangle PQR enserre le imnt milieu deK?

.Soient P, Ç, (Fig. 17) les deux points choisis tout d'abord. On mène par ceux-ci les diamètres A B, (■!). Le triangle PQR n'enserrera le point milieu 0 que lorsque le troisième point /»* tombera dans le secteur B()J)K, c'est-à-dire quand il est séparé, tant par le diamètre A Bj de Q, que par le diamètre C/>, de F; comme chacun de ces événements sinjples a la probabi-

lité -^» la probabilité composée de leur rencontre ou do

levénement en question est -^* "ô"™ T" ^^'

36. Problème II. — Dans la surface d'un triangle êquilatéral un point est pris à volonté; de celui-ci sont menées des perpendiculaires aux côtés. Trouver la probabilité pour qu'avec ces trois perpendiculaires un triangle acutangle se laisse former.

Solution. — La somme des trois perpendiculaires produites <laii> la question égale la hauteur du triangle; à la prise arbitraire du point dans le triangle, correspond conséquemment la division arbitraire de la hauteur en trois parties, et la probabilité pour qu'avec ces parties un triangle acutangle soit possible, a été trouvée dans le problème X, N** 16, égale à

37. Problème III. — Une cible circulaire de surface A a été atteinte par un coup de feu ; la j)robabiiité pour que celui-ci soit arrivé dans une partie limitée à volonté, de superficie a est

p = -V- • Quelle valeur prend cette probabilité lorsqu'il est su

d'un autre coup tiré contre la cible, que ce coup a atteint la cible <i u/ir distance plus grande, moins grande du point milieu fjue le coup précisément considéré':;'

Solution. — 1. On se représente la partie a de la cible découpée par des arcs de cercle concentriques décrits du point mi h* eu comme centre, en bandes élémentaires; soient r,, r^ les rayons extrêmes de ces arcs; la superficie de l'élément auquel les rayons x et x -\- dx échoient se figure alors sous la forme f{x)dx, de sorte qu'on a

a= / f{x)dx.

La probabilité pour qu'un coup atteigne la cible dans

(i) Comparer à la solution circonstanciée de C. Jordan dans le tome I du liull. de la Soc. Mathém. de France, page 256.

f{x)dx l'élément mentionné est '~^-— g— , r désignant le rayon de la

cible entière; la probabilité pour qu'un coup atteigne la

cible à une distance du centre, plus grande que x, est —^ — ^;

de là résulte la probabilité pour que le meilleur coup (qu'il soit le premier ou le second) atteigne la cible dans la partie a ;

'f(x)dx n{r^ — x^

Jf(x)dx — Jx^f{x)dx

la première intégrale du numérateur donne la superficie a. la seconde le moment d'inertie w de cette partie de la cible, pendant que le dénominateur est égal au moment d'inertie M de la surface totale de la cible, les deux moments rapportés à un axe normal à la surface de la cible, passant par son point milieu. Par conséquent, on obtient

Mais cela est aussi la probabilité du premier cas se trouvant en question : car là le meilleur coup doit frapper la partie a de la cible.