ri—-^ 7 = tang
périmètre du carre -'
la probabilité pour que le rayon OC soit plus petit que le rayon OA, ou pour que le triangle OXCtout au plus soit égal au triangle OAY, est
JOAY
surface du carré
tang 6;
de là, se livre la probabilité totale, composée pour que le rayon OA soit le plus grand,
p,=:— tangue , de = —
P.ir (lo somblahlos considérations, on trouve, avec Y B^y, la prohahiliti'' pour quo lo rayon O /? soit lo plus grand,
2) /' l y arc tang y dy =^\----
ot, avt'i; XC — r, la probabilito pour quo lo rayon 0 C soit le plus grand.
i>. == — I X arr
•^) pr, = ~ / -^ ^*'^'^' ^^'^^y '"' f^^ ^^
Noeossairenient, />, -[- p^ + p^ ^= 1.
(;:i. Problème VIII. — Découvrir la prohahilîté pour que, dans le plan, la résultante de deux forces arbitraires en direction et en grandeur soit la plus grande , la plus petite, la moyenne des trois forces.
Solution. — On désigne les composantes par x^ y; l'angle qu'elles enserrent par 6, et la résultante par z; ainsi, l'on a
1) 2;« = a?« 4- y* -{-2xy cos B,
Il suffit de limiter les valeurs de d à l'intervalle 0 à -p- et
celles de a? et de y à un intervalle fini 0 à at.
1. z est, parmi les trois forces, absolument la plus grande, aussi longtemps que l'angle 6 est aigu ; la probabilité de cela
s'élève à -^• Aussi ensuite, lorsque B franchit la quotité -^ti^z peut être
la plus grande. Si l'on pose ^ = -h- tt -|- g, z'^ s'écrit sous la
forme
^r* = y2 -f a; (a? — 2 y sin ç»)
et cela est x <^y <^ z, lorsque ar > 2y sin y; de plus, puisque
y est la valeur la plus élevée de x, sin if doit être au plus -^ î
donc y, au plus -7^ n. Comme la même probabilité est valable
aussi pour .y < ir < 2^, la probabilité totale pour que la résultante soit la plus grande des trois forces est
n j aja "3
0 0 iysin^
2. De z^ = x^ -\- y {y — 2x sin ç)), il résulte que z <^x <C, y, lorsque y < 2x sin(p; et comme x est la plus petite valeur de
i/, siw (f doit être tout au moins -^> ou ç» tout au moins -^tt.
Donc, la probabilité pour que la résultante soit la plus petite des trois forces, ou pour que devienne z<^x<^ y, ou z<^y <a:, est
a a ix sin ^
3. Enfin, la probabilité pour que la résultante soit la moyenne des trois forces, s'en ensuit
64. Problème IX. —(Problème de l'aiguille de Buffon)('). Un flan est divisé en bandes par des droites parallèles, éqttidistantes; une aiguille cylindrique^ fort mince, dont la longueur est au plus égale à la distance des imralUles^ est projetée arbitrairement sur ce plan. Combien grande est la probabilité pour que V aiguille rencontre une des lignes de division ? Solution. — Soient MN, PQ (fig. 30) deux lignes de Fis. :}(). division voisines, quelconques; leur
distance, AB= a. Admettons que le point milieu de l'aiguille tombe en C, de manière que l'éloignement de C do MN, c'est-à-dire AC^ soit x; la pro-
dx babilité y relative est — On décrit
(*) BuFPON dit : * Je suppose que dans une cbambre dont le parquet est , simplement divisé par des joints pnrnllèlos, on jette en l'air une baguette, r, et que l'un «les joueurs parie (jue la baguette ne croisera aucune des
il( ^avec la demi-longueur r de l'aiguille l'arc de cercle DF; ou dessine les positions DCE» FCG, de l'aiguille; la ligne de division M X est atteinte par celle-ci lorsqu'elle tombe dans
l'angle D^ 1- liç; la probabilité y relative est — —'
Il en résulte la probabilité totale, composée pour que la ligne UN soit rencontrée par l'aiguille, pendant que son point milieu tombe au-dessus de MN^
— I (p (ix = — 1
X , zr
arc cos — ax = ;
r • nu
la même valeur se livre sous la supposition que le point milieu de rkiguillo N'ienne à se trouver au-dessous de M N. La probabilité requis L>t par conséquent
65. Notice historique. — Le présent problème est l'un des premiers, posé et résolu dans le domaine de la probabilité géométrique. Il est remarquable que Buffon, dont la sphère de recherches était éloigné cependant des sciences mathématiques, fut celui qui parcourut la voie juste de la résolution dune question fort étrangère aux objets de cette sphère, et, par cela, donna naissance à une nouvelle branche du calcul des probabilités.
Il commence le XXIII® article de son " Essai d'arithmétique morale „ (^) par les mots : * L'analyse est le seul instrument y, dont on se soit servi jusqu'à ce jour dans la science des ^ probabilités pour déterminer et fixer les rapports du hasard : „ la géométrie paraissait peu propre à un ouvrage si délié ;
, parallèles du parquet, et que l'autre au contraire parie que la baguette „ croisera quelques-unes de ces parallèles; on demande le sort de ces deux „ joueurs (on peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille à coudre ou „ une épingle sans tête). , Œuvres complètes de Buffon, édition Duménil, tome quatrième, p. 277.
(>) Voir une seconde solution, en même temps une généralisation, do ce problème au n" 82.
C'i Buffon's sâmtliche Werke, deutsch von B. Rave. 1840, 4. Bd., pag. 441 — 498. — Le traducteur a repris le texte français original, dans les " Œuvres complètes de Buifon ,, édition Duménil, tome IV, p. 275.
„ cependant si l'on y regarde de près, il sera facile de recon- „ naitre que cet avantage de l'analyse sur la géométrie est a tout à fait accidentel, et que le hasard, selon qu'il est modifié „ et conditionné, se trouve du ressort de la géométrie aussi „ bien que de celui de l'analyse.... Pour mettre donc la „ géométrie en possession de ses droits sur la science du „ hasard, il ne s'agit que d'inventer des jeux qui roulent sur „ l'étendue et sur ses rapports^ ou calculer le petit nombre de „ ceux de cette nature qui sont déjà trouvés. „ Il aborde ensuite la solution de quelques questions sur le jeu du " franccarreau „ qui consiste en ceci : on jette, sur un plancher parqueté de carreaux égaux, réguliers, une monnaie et on parie qu'aucun joint (franc-carreau) ne sera couvert ou qu'un, deux, trois... joints seront couverts. Le principe appliqué à la solution est juste, la démarcation des cas favorables et des cas défavorables, cependant, n'est pas toujours exécutée correctement (').
BuFFON remarque plus loin que " le problème demanderait un peu plus de géométrie „, si la pièce jetée possédait une autre forme que " la forme ronde „ ; puis il passe au problème de l'aiguille, qu'il résout d'une manière complètement correcte avec l'aide du calcul intégral. Mais il traite fautivement le cas du plan revêtu non plus d'un système mais de deux systèmes de parallèles équidistantes, qui le découpent en carrés égaux. (Comparer à la remarque du n*' 68).
Abstraction faite des exemples simples sur le jeu du " franccarreau „, au sujet desquels Buffon déjà en 1733 avait fait à l'Académie une brève communication (voir l'Histoire de l'Académie de France pour 1733, pages 43 à 45), la rédaction de r* Essai d'arithmétique morale „, d'après 1'** Histoire du calcul des probabilités depuis ses origines jusqu'à nos jours „, de GouRAND (Paris, 1848), serait à porter à l'année 1760 (*),
(») En outre, quelques-uns des résultats sont altérés par des erreurs d'impression.
(«) Comparera " A History of tho mathematical Theory of Probability from the time of Pascal to that of Laplace , from J. Todhunter (CambridjBre and London, Macmillan, 1865), pag. 344.
(|iii, (loue, seniit à désigner pour 1 epoquo de la fondation de la théorie des probabilités géométriques.
De 1760 à 1812, rien sur cet objet n'est à enregistrer. Dans sa * Théorie analytique des probabilités „ publiée dans l'année énoncée en dernier lieu, Laplace traite de nouveau dans les pa^'cs :i'>9 à 362 le problème de l'aiguille de Buffon, et un ( .i> (>Iii> (litlidle, à savoir le cas où le plan est divisé en une suite de champs rectangulaires égaux, sans cependant mentionner l'origine de ces problèmes ('). Ceux-ci forment dans la grande œuvre de Laplace la terminaison ^u V® chapitre, " Application du calcul des probabilités à la recherche des phénomènes et de leurs causes. „ Après avoir parlé de l'application du calcul des probabilités à l'astronomie, à la physiologie, à la médecine, à l'économie politique, à l'influence des causes morales, à l'examen des jeux de hasard, dans les cas dont la complication ne permet pas un traitement direct et auxquels des observations en grand nombre doivent venir en aide, le passage au problème considéré est ménagé par les mots : " Enfin, on pourrait faire usage du calcul des probabiy, lités pour rectifier les courbes ou carrer leurs sui-faces. „ Sans doute les géomètres n'emploieront pas ce moyen; „ mais, comme il me donne lieu de parler d'un genre particuy, lier de combinaisons du hasard, je vais l'exposer en peu de „ mots. „ L'insertion des questions dans le système est particulière et se fait en une place où l'on ne doit pas la présumer.
Depuis quelque trente ans, le nouveau domaine du calcul des probabilités est cultivé avec prédilection notamment par des mathématiciens anglais et français; les problèmes extrémeiiK lit nombreux qui ont été publiés spécialement dans des revues périodiques anglaises et dont les solutions ont donné, d'une manière répétée, Toccasion d'un échange de pensées intéressantes sur les fondements du nouvel objet, en rendent témoignage.
Deux travaux sur le calcul intégral, à savoir " A treatrise
(*) Ensuite de cela, Laplace, fréquemment, est désigné comme le créateur du problème de l'aiguille.
on the intégral Calcul us etc. „ (Cambridge and London, Macmillan, II« édition, 1862), de J. Todhunter et " An elementary Treatise on the Intégral Calculas, etc. „ (London, Longmans, IIP édition, 1880), de B. Williamson, ont consacré à la probabilité géométrique et aux moyennes géométriques un chapitre spécial; dans le dernier travail, ce chapitre a pour auteur Crofton.
66. Remarque. — Le problème de l'aiguille de Buffon présente un intérêt étendu par le fait que c'est l'un des peu nombreux problèmes sur la probabilité géométrique, qui furent confirmés par la voie expérimentale.
La difficulté principale, dans l'exécution de pareilles tentatives, réside dans l'exigence d'établir les expériences de façon qu'il soit tenu compte de la notion de l'arbitraire. Des points sont pris à volonté sur une surface plane, limitée d'une manière quelconque; plus grand devient leur nombre, plus régulièrement devrait s'égrener leur distribution. Mais on trouvera la compacité des points diminuée vers le contour de la figure, et cela, par le motif que l'exigence de devoir prendre les points à l'intérieur de la figure a par suite, en quelque sorte, un éloignement forcé de la limite, et par conséquent une compacité de points moins élevée à proximité de cette limite. Pour obvier à cette influence, on doit prendre les points sans avoir égard au périmètre de la figure, dans le plan agrandi, et laisser hors d'estimation tous les points tombés à l'extérieur de la figure. Des remarques semblables sont valables pour la prise de points dans des lignes, dans l'espace.
Semblablement, lors de prise de lignes droites dans un plan, une précaution spéciale doit être employée à ce que toutes les directions, éventuellement toutes les positions, puissent se présenter avec égale facilité, à ce qu'aucune tendance à la réalisation plus fréquente de ces directions-ci ou de ces directions-là, ou de ces positions-ci ou de ces positions-là, n'existe.
Le professeur D"" R. Wolf, de Zurich, qui a produit il y a des années de nombreuses séries d'épreuves pour l'affermissement de la loi des grands nombres, étendit ses observations au problème de l'aiguille de Buffon, qu'il avait appris par
* Vn million de faits , (Paris, 8* édit., 1843), de L. Lalannk, cependant sans la preuve du résultat('). Sur une table d'un pied carré, une série de parallèles à la distance réciproque de 45 mm. avait été tracée, et, un fragment de 36 mm. de longueur avait été découpé d'une aiguille à tricoter. Des trois séries d'épreuves, effectuées, la troisième seule a un intérêt ici; 50 fois 100 jets furent faits, et pour tenir compte de la * direction arbitraire „ de l'aiguille, la table reçut une rotation continue. Sur les 100 jets de chacune des 50 suites d'épreuves, le nombre dos cas oîi les parallèles furent atteintes fut : 41 fois dans 1 suite, 53 fois dans 2 suites,
3 suites.
1 suite.
2 suites,
1 suite.
7 suites,
2 suites.
2 suites,
1 suite,
ff
1 suite.
1 suite.
3 suites,
1 suite.
2 suites,
2 suites.
3 suites.
1 suite.
8 suites,
2 suites.
3 suites.
1 suite.
2532 fois dans 50 suites; 50 X 100 jets. Le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des jets est
pendant que la formule théorique pour 2 r =36 et a = 45 donne
La concordance de l'expérience avec la théorie peut donc être dite fort satisfaisante; la différence des deux résultats ne s'élève qu'à 0,0029.
WoLF a soumis, selon la méthode des moindres carrés, les nombres de la première rangée verticale à une compensation, m les considérant comme les résultats de 50 observations
(*) MitteiluDgen der Naturforschenden GeselUcbaft in Bern, 1850, pages 85 à 88.
également exactes ; suivant ce calcul (voir le " Handbuch der Matheni., Phys., etc., de Wolf, tome P, page 277), pour 100 jets, le nombre le plus probable des cas où les parallèles sont atteintes s'obtient égal à 50,64, avec l'erreur moyenne ± 0,84; ensuite de quoi, le rapport des épreuves favorables au nombre de toutes les épreuves se déplace entre les limites moyennes 0,5064 =fc: 0,0084, entre lesquelles la valeur théorique est comprise effectivement.
Comme Lalanne a fait la remarque qu'on peut parvenir par des épreuves du mode décrit à une détermination d'autant plus exacte du nombre n qu'on rend la série des épreuves plus grande, Wolf utilisa aussi les résultats de ses épreuves pour ce calcul. De la formule théorique, résulte
on établit ici pour p la valeur déduite de l'observation,
p' == 0,564, et on calcule, avec l'erreur moyenne de celle-ci,
^t = zb 0,0084, l'erreur moyenne de la fonction susdite; ainsi
s'obtient
aussi ici la valeur théorique de n tombe entre ces limites fournies par l'expérience.
Les expériences de Wolf donnent encore l'occasion de dire comment l'expérimentation est à disposer, pour prévoir à priori, avec un nombre donné d'épreuves, le meilleur accord avec la théorie. Lalanne affirme : " L'erreur sera la plus petite possible pour un nombre donné d'épreuves lorsque la longueur a de l'aiguille est égale au quart du produit de l'intervalle d des divisions par le rapport n „. Donc, lorsque
a = —7—^ et correspondamment à cette déclaration, Wolf
avait réglé les dimensions du matériel de ses expériences.
Dans un supplément (*) au travail cité antérieurement, supplément présentant un intérêt particulier parce qu'il com-
(«) Mitteilungcn tlor Niiturforschenden Gesellschftft in Bern, 18ô0, pajj. 210 — 212,
niuniquo une solution théorique, donnée parle professeur bàlois HuD. Mkrian. du problème de l'aiguille, Wolf dit : " Mkkian conteste la justesse do la déclaration de Lalanne et pose en principe que le plus grand accord entre l'expérience et la théorie doit se donner lorsque a = 2r, c'est-à-dire lorsque la distance des parallèles est rendue égale à la longueur de raiguille.„ Wolf combat cette opinion, défend l'affirmation de Lalanne et produit, suivant la règle de Merian, une nouvelle série de 50 X 100 épreuves qui fournissent un résultat moins favorable.
Mais effectivement l'assertion de Merian est juste. Car si p indique la probabilité à priori d'un événement, si parmi s épreuves organisées, m sont favorables à cet événement, on peut espérer, selon le théorème de Bernouilli, avec la probabilité
^'In sp (i — p)
que la différence p sera renfermée entre les limites
— —' Maintenant, ces limites atteignent avec
une valeur donnée de y fou de //) et de s, l'étendue la plus grande pour p = -X-, donc pour a = ^^^ ; la règle de
Lalanne est par conséquent complètement renversée; au contraire, elles gagnent réellement l'étendue la plus resserrée lorsque p reçoit la plus grande valeur compatible avec les conditions de la question, c'est-à-dire pour a = 2r ou pour
p =.- . Que la deuxième série d'épreuves de Wolf ait
donné un accord moins bon s'explique par le nombre médiocre des épreuves.
67. Problème X. — Bésoudre le précédent problème sous la condition que la longueur de l'aiguille est plus grande que la distance des parallèles.
Solution. — Soient MN, PQ, US (fig. 31, p. 92) trois lignes de division se suivant l'une l'autre; on mène à celles-ci la nor-
maie ABC; il suffit manifestement de limiter la recherche au cas dans lequel le point milieu de l'aiguille tombe sur l'étendue 0 0' qui joint les milieux de ^B et de -B C.
Par des arcs de circonférence, des points 0 et 0' comme centres, avec la demi-longueur r de l'aiguille comme rayon, Fig. -M. on coupe les parallèles aux points
1>, E, Z)', E\ et on mène DDE, D'O'E'; on reconnaît facilement qu'aussi longtemps que l'angle d'inclinaison de l'aiguille sur la normale est plus petit que l'angle BOD = a, PQ est rencontré par l'aiguille, quel que soit le point de l'étendue 00' oii son point milieu tombe. D'autre part, si l'angle d'inclinaison mentionné est plus grand que a, comme par exemple dans la position F H et dans la position F'H\ qui lui est parallèle, la parallèle PC est rencontrée par l'aiguille seulement lorsque son point milieu tombe dans l'étendue G G'.
Conséquemment, si l'on désigne l'angle que l'aiguille dans une position quelconque enserre avec la normale, par (p, la probabilité pour que la parallèle PQ soit rencontrée est exprimée par
2dg) , r2(l(p 2r cos g> 2a , 4/* .^ . . — ^ ' ' "^ "^ - I (l—sincc).
n a 71 Tta
En éliminant a de cette formule, elle devient a . 2
p = — arc cos ^ — | (2r — V-^'** — <**)•
Ainsi, on obtient pour r = «, ou lorsque l'aiguille est deux fois phis longue que la distance des parallèles,
Avec r croissant, la valeur de p s'approche de l'unité. 68. Problème XI. — Un plan est divisé par deux systèmes de droites parallèles, équidistantes en rectangles égaux; une
ahjullli' i>lus courte (jue chacune des deux distances des parallèles des deux systètnes est projetée arbitrairement sur le plan; combien grande est la probabilité pour qu'elle rencontre les lignes de division?
Première solution (•). — On désigne par //•> la probabilité pour que seulkment une ligne du I*" système soit rencontrée; par // la probabilité pour que seulement une ligne du 11^' système soit rencontrée: par />,,i la probabilité pour que l'aiguille coupe en même temps des lignes des deux systèmes. La probabilité requise est
Puis, p^ est la probabilité pour que l'aiguille rencontre en GÉNÉBAL une ligne de I, et p^ la probabilité pour que l'aiguille rencontre en général une ligne de IL Les valeurs de ces probabilités sont connues par le problème IX, n^ 64, à savoir
ainsi existent les relations
par lesquelles, l'équation 1) se transforme en 3) p = p^ Jf- p^—p^^^,
11 ne reste donc plus qu'à découvrir la valeur de p,,^.
La figure 32 représente un des rectangles. L'aiguille, pendant que son point milieu fu. 32. tombe dans ce rectangle, pourra rencontrer simultanément les côtés contigus en S de celui-ci seulement lorsque 1< }M>iiit milieu vient à se trouver à l'intérieur du quart de cercle SMN décrit de S comme centre avec r, la demilongueur de l'aiguille, comme rayon. Si le point milieu tombe par exemple au point 7^, dont les coordonnées sont SQ = FR = x et PQ = y, et si l'on
(') Comparer à la • Théorie aoal. des prob, , de Laplacb, p. 360 à p. 382.
^/^il
décrit, de P comme centre, avec le rayon r, un cercle, il est à
reconnaître facilement qu'un cas favorable se présentera
lorsque l'aiguille tombe dans un des angles AFB ou CPI).
La probabilité de cela est
arc cas ~ arc sin —
dx du la probabilité de la position prise du point milieu, — j-^'
En intégrant le produit de ces probabilités simples pour le domaine de valeurs limité par le quart de cercle SMN et quadruplant l'intégrale, parce que le calcul pour chacun des quatre angles du rectangle considéré fournit la même valeur, il vient
-^ f \\jr^'X^nrccos\/ l-^ 'X^~r-\l r^-x^arcsin -^\ (U
— £ / (r — x) dx = 7-
nao I Tinb
Par substitution des valeurs de 2) et de 4) dans 3), on obtient
Deuxième solution (•). — 6 est l'inclinaison de l'aiguille sur les lignes de la série I; ainsi se laisse spécifier, à l'intérieur du champ pris en considération, de la manière intuitive de la fig. 33 (p. 95), un rectangle AB Cl)^ dans lequel le point milieu de l'aiguille ne peut pas tomber lorsqu'elle rencontre les lignes de division ; au contraire, elle rencontre une ou doux de cellesci lorsque son point milieu vient à se trouver à l'extérieur de ce rectangle; la probabilité y relative est
(*) D*apiè8 1' • Hist. of the mathem. Theory of Probab. „ de Todhunteb, pftg.347et348.
P^^ ab—ia — 2r nin S) (b — 2r fios 6) ^ n ab
et la prol)abilitt' totale de 1 evéïiemont déterminé
cos e + bsine--2rsiu ti nos 6) de
71 a h Remarque. — Pour des champs quadratiques on trouve
tandis n*» G5)
que BuFFON (comp. au a trouvé
FIg. 33.
Problème XII. — Résoudre le problème précédent sous la condition que Vaiguille est plus longue que l'une ou que les deux dimensions des champs rectangulaires (').
Solution. — La considération sur laquelle se fonde la seconde solution du problème précédent reste existante ici ; seulement les limites d'intégration de l'expression (a) du n° 68 se changent, selon qu'une dimension ou que les deux dimensions du rectangle ABCD (fig. 33), prises dans le sens a — 2r sin 6, b — 2r cos ^, deviennent négatives. Ce cas indique que, pour de telles directions de l'aiguille, les lignes de division sont rencontrées, quel que soit le lieu ou le point milieu de l'aiguille tombe. Le deuxième facteur du produit (a) disparait donc.
1. Soit a < 2r < ô, c'est-à-dire soit l'aiguille plus longue que la plus courte, plus courte que la plus grande distance. Alors, seule la hauteur AB (fig. 33) du rectangle ABCD peut devenir négative; l'intégration de l'expression {a) est
(*) Les indications que donne Toduuntbb (1. c.) snr Ia solution de ce cas sont incomplètes.
par conséquent à étendre seulement au domaine des valeurs de d, pour lequel
2r siîi 0 <^ a, ou
6 < arc stn - — On a donc ^^
