PREMIÈRE PARTIE
Probabilités géométriques.
Introduction.
1. Los questions habituelles sur la probabilité à priori se rapportent à des totalités discrètes de cas favorables et de cas possibles ; le quotient des nombres de ces cas respectifs donne la probabilité demandée.
Il est toujours permis alors de percevoir la totalité des cas par un amas de boules, ces boules se différenciant par quelques caractères les unes des autres, le plus simplement par des numéros d'ordre écrits; ainsi, chaque boule individualisée est désignée et est différenciée des autres par son numéro d'ordre, et en prenant les numéros d'ordre pour les remplaçants des boules, on représente la totalité des cas par une totalité discrète de nombres, ou de combinaisons de nombres, selon que l'événement dont la probabilité est requise peut être ramené au tirage d'une boule ou de plusieurs boules.
A côté des questions de cette espèce, on trouve d'autres questions qui se rapportent à des totalités continues ou CONCRÈTES de cas possibles et de cas favorables. Ce sont les problèmes du calcul des probabilités dans lesquels les cas possibles et les cas favorables se laissent représenter analytiquement par des valeurs ou par des combinaisons de valeurs de grandeurs continûment variables; ils forment en conséquence dans leurs totalités des variétés continues, d'étendue simple ou multiple; ils existent en nombre illimité.
Si, pour commencer par le cas le plus simple, on demande : quelle est la probabilité pour qu'un point pris arbitrairement
dans une droite donnée remplisse certaines conditions V Tous les points de la droite représentent la totalité des cas possibles, et les points satisfaisant aux conditions imposées la totalité des cas favorables. Maintenant un point est-il caractérisé par ceci : on cote, rapportée à quelque unité, sa distance X à une extrémité? Tous les points de la droite sont représentés par toutes les valeurs de la variable x entre 0 et a (a est la longueur de la droite mesurée avec la même unité), c'est-à-dire sont représentés par une variété continue simplement étendue, et les points qui correspondent aux conditions proposées le sont par une seconde variété semblable, dont la délimitation résulte de ces conditions.
La question de la probabilité exige-t-elle qu'un point pris à volonté dans une surface plane, limitée, satisfasse à certaines conditions? On se représente la figure rapportée à un système de coordonnées rectangulaires, disposé dans son plan et on désigne les coordonnées d'un de ses points par x, ij; tous les points de la ligure sont représentés par la variété continue doublement étendue des variables ir, //, variété dont la délimitation résulte du périmètre de la figure ; les cas favorables à l'événement en question le sont par une variété de même forme, dont la délimitation doit être déduite des conditions que le point a à remplir.
En général, la probabilité doit-elle s'évaluer pour qu'une grandeur géométrique, dépendante de n variables indépendantes, satisfasse à certaines exigences? A la totalité de tous les cas possibles, correspond une variété des n variables, continue, n fois étendue, de délimitation donnée; aux cas favorables, une variété semblable, dont la délimitation est à déduire d'abord des exigences présentées.
2. De semblables probabilités qui ont rapport à des corrélations géométriques ont été appelées probabilités oéomé- TRiquEs (^). Mais au point de vue analytique, toutes les
(*) Local probability, oeombtrical probability sont les dénominations employées par des mathématiciens anglais (v. Crofton, Philos* Transaction», vol 158, page 181).
probabilités qui dépendent do grandeurs continûment variables, sont à compter ici; par conséquent particulièrement aussi les probabilités qui elles-mêmes servent de relations entre des nombres variables de manière continue.
:1 La solution analytique de pareilles questions a pour base uin pt ((position générale qui doit être développée aussitôt pour le cas de deux variables indépendantes.
K désigne-t-il le domaine donné des combinaisons possibles des valeurs des variables x, y\ K\ le domaine dérivé des conditions de la question, des combinaisons favorables à l'événement des valeurs des variables x, // V La probabilité demandée est une fraction dont le numérateur énonce la quantité des combinaisons de valeurs dans le domaine K' et dont le dénominateur énonce la quantité des combinaisons de valeurs dans le domaine K.
Comme le problème doit être réalisé, dans le cas présent il peut toujours être revêtu d'un habillement géométrique; c'est-à-dire que l'on considère a-, y comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan, de manière qu'aux domaines iiT, K' correspondent des parties (des deux côtés une ou plusieurs) délimitées de ce plan; aux cas favorables, des points dans la surface K'; aux cas possibles, des points dans K; la probabilité en question apparaît maintenant comme le quotient du nombre des points qui tombent dans la partie K' du plan et du nombre des points qui se trouvent dans K.
Attribue-t-on aux variables x, y des séries discrètes de valeurs, désigne-t-on deux valeurs se suivant l'une l'autre de la pi ornière série par x^, Xu-\-\, de la seconde série par y^^ y^-j-\, pose-t-on leurs différences positives
La valeur limite, de laquelle s'approche la somme étendue au domaine A",
pour des valeurs constamment décroissantes deJxajàeJyji^ est représentée par l'intégrale double, étendue au même domaine
j j dx dy.
Géométriquement, à ce développement correspond une décomposition du domaine K en rectangles par des parallèles aux axes; Jx^ Jyp signifie Taire d'un des rectangles,
/ J / iJxa Jy ^,]sL somme de toutes les aires des rectangles.
Mais les valeurs de x, y sont-elles choisies toutes de manière qu'elles soient des multiples d'une fraction -^ formée de
l'unité et d'un certain nombre entier JW, les différences des valeurs voisines par conséquent toujours et partout sont-elles
égales à -^? Alors apparaît le domaine K du plan décomposé en carrés de la superficie ^^ et si Z est leur nombre, on a
]^^ccJy^=~
ss
la décroissance des différences Jx, Jy est amenée par la croissance constante du nombre M] donc
1) / j dx dy = lim
pour une M constamment croissante. Maintenant Z est identique manifestement au nombre des points qui sont produits dans la décomposition décrite du domaine K par les intersections réciproques des lignes de division de celui-ci, pendant que l'intégrale du premier membre exprime l'aire de K, L'équation 1) signifie par conséquent :
La valeur limite de la fraction ^ dont le numéi-aieur énonce
le nombre des points tombant dans le domaine K, égale, pour vu nombre M croissant sans ^n, l'aire du domaine K. Etend-on la même considération au domaine À"' des cas
favorables et désigne-t-on le nombre des points tombant dans celui-ci par Z'? On a aussi ici
1) J J du- dy = lim -^f
l'intégration étendue à K'.
La probabilité, par conseil lu ut, est
/ ^ — ^^ aire du domaine K' " Z ~ J. Z aire du domaine K '""TtfT
L'avantage de la considération intuitive géométrique existe aussi pour une variable indépendante et pour trois variables indépendantes et l'on est conduit à des propositions analomu's, récapitulées dans la proposition suivante :
Le rapport des (fuantités des points ^'enfermés dans deux li(jnesy dans deux surfaces, dans deux espaces, est exprimé respectivement par le rapport des longueurs de ces lignes, '/< s (lires de ces .^urfacrs, des rohimes de ces espaces. Quand il y a plus de trois variables, il est vrai, l'interprétation géométrique n'existe plus, mais l'analyse demeure en principe la même et fournit le résultat suivant.
Une probabilité dépend de n variables indépendantes
x„ X,, Xn; K est le domaine donné des combinaisons
possibles des valeurs, K' le domaine dérivé des conditions de la question, des combinaisons favorables des valeurs.
On imagine, attribuées aux variables, des valeurs qui forment
des séries arithmétiques avec la commune raison -^7- Z, Z
sont les nombres des combinaisons des valeurs, lesquelles combinaisons, par pareilles mesures, s'ensuivent dans Ky K', Alors pour une M constamment croissante, on a
4) lim -^ ""JJ- • •/^•^« ^^% • ' ' dxn,
l'intégration étendue au domaine K(%
(i) Comparer au traita d'analyse de R. Lipschitz, tome II, pag. 544 et 562, et aux articles de Lejeune Dikichlet, dans le journal de Crelle, tome 19, page 392 et tome 24, page 356 et pages suivantes.
5) ///// J- ^//. • '^àx, dx,
<lj\
l'intégration étendue au domaine K'\ la probabilité demandée égale, par conséquent,
Z' Ht^ ff' ' 'Jdx^ dx. ... dx„ (domaine K)
I) 1 1 m — y, — -^^^ jy — ^^^^^ /» /» /» *
Ihn - — / •• h^-^i ^^-^i • • • ^•^'' (domaine K)
Par analogie avec les cas d'I, do 2, de 3 variables, on peut appeler l'intégrale n fois étendue à la variété K^
I f,,.l dxi dxi ... dxn,
le CONTENU Dv DOMAINE K; p s'écHt alors sous la forme :
^. contenu du domaine K'
^ ^ contenu du domaine K
En conséquence, le contenu d'un domaine de n variables peut être envisagé comme une mesure du notnbre des combifiaisons des valeurs, lesquelles combinaisons constituent ce domaine.
L'établissement d'une probabilité dépendante d'une ou de plusieurs grandeurs variables de manière continue, conduit donc à l'évaluation du contenu de deux variétés continues de même nombre d'étendues, c'est-à-dire à l'évaluation de deux intégrales définies plusieurs fois.
4. En dehors de la méthode générale développée actuellement, il y en a encore beaucoup d'autres qui évitent complètement ou qui simplifient essentiellement l'évaluation des intégrales. D'un autre côté, l'emploi de ces méthodes conduit à des propositions sur les intégrales définies, propositions, qui abordées autrement, ne seraient pas faciles à établir avec la même généralité. Par cela, cette branche du calcul des probabilités entre en relation importante et remarquable avec le calcul intégral.
Les méthodes particulières sont si vaiiées, qu'il n'est guère possible d'apprendre à les connaître que par leur application
il lies prublèmes particuliers. L'une des plus impoi-tantes consiste dans l'eniploi <!• - moyennes géométriques qui s'enchaînent aux probabilités géométriques par ce qu'à celles-là comme à celles-ci, des totalités continues de formes géométriques (ou des totalités continues de valeurs) servent de base. Aii--i ici uiif cnifi'latioii fxi-tc, | Moulant qu'inversement la détermination de moyennes peut être souvent ramenée avantMi^MMisenient à la découverte de probabilités.
"). 11 rst avancé itérativement que des problèmes sur des probabilités et des moyennes géométriques ont trouvé des solutions différentes. La cause de ce fait git toujours dans l'interprétation différente de la notion du mot " arbitraireiiit lit „ dont la signification, en réalité, n'est pas toujours tellement claire qu'elle exclut les divergences de conception.
Pieiidre " arbitrairement „ un point dans une droite donnée |K I iiK 1 l'unique sens : la distance du point k un point fixe de la (lioitc peut recevoir toute valeur que Ks limites de la droite tolèrent, et toute valeur avec le même degré de possibilité.
Mais déjà la demande de prendre " arbitrairement „ un point dans une ligne courbe donnée, peut être interprétée et réalisée différemment; ou elle peut être comprise : prendre un point dont la distance k un point fixe de la courbe, distance iiK -ui« ( If 1(»iil; (le celle-ci, peut avoir toute valeur admissible en raison de l'étendue de la courbe, ou : prendre un point dont l'abscisse — lorsque la courbe est représentée par son équation en coordonnées rectangulaires — peut prendre toute valeur admissible, et, dans les deux cas, toute valeur admissible avec le même degré de possibilité.
Pendant que dans le premier cas, l'arc de courbe est la variable qui forme à la fois une variété continue des cas favorables et des cas possibles, dans l'autre cas c'est l'abscisse et l'on doit être conduit à des résultats différents selon que l'on se décide pour l'une ou pour l'autre interprétation.
Il résulte de cet examen que l'interprétation du mot " arbitrairement „ s'accorde avec le choix des variables indépendantes.
Où le sens ne découle pas incontestablement des termes du problème, il peut toujours se discuter quelle interprétation correspond le mieux à la nature de la chose.
