PREMIER CHAPITRE

Points pris arbitrairement.

6. Théorème I. Le nombre des points dans une ligne, dans mie surface, dans un espace^ d'étendue donnée, est mesuré respectivement par la longueur de la ligne, par le contenu de la surface, de l'espace,

La preuve se trouve dans les propositions du n« 3 de l'introduction; mais cette preuve peut être faite d'une manière indépendante comme suit : on imagine dans la ligne, dans la surface, dans l'espace, des points pris à volonté; avec leur nombre croissant, leur distribution tend toujours de plus en plus vers la distribution uniforme dans la ligne, etc., et leur distribution atteint cette distribution uniforme lorsque le nombre des points devient infini. On a à se représenter dès lors la totalité des points, à laquelle appartient un point pris arbitrairement, de manière que des parties égales, petites à volonté, de la ligne, etc., contiennent également autant de points ou que les quantités des points des parties inégales sont entre elles comme les grandeurs de ces parties.

La représentation de la compacité, de la densité uniforme des points ne coïncide pas nécessairement avec la représentation d'une distribution régulière de ceux-ci, mais est simplifiée et dégagée. La considération sur laquelle la preuve des propositions générales du n** 3 s'édifie, part en réalité d'une distribution régulière des points (généralement, des combinaisons des valeurs des variables); les points dans une droite sont équidistants et ont la distance réciproque

-w; les points dans une surface plane forment les angles

d'un roseau do carros également grands de la superficie

,., : los points dans l'espace apparai?<sont comme des angles de ( iiIm s (gaiement grands du volume -pj-. Et cette

disposition régulière demeure lors du passage à la limite, c'est-à-dire avec M croissant infiniment.

On parle souvent d'un point quelconque d'une ligne courbe dans un autre sens que celui qui correspondrait au théorème I. Par celui-ci, un point de la courbe est à caractériser par la distance d'arc s comptée à partir d'un point fixe; si l'on accorde à s des valeurs qui sont des multiples de la

fi-action — ^^ par cela, sur la courbe, est indiquée une série

do points, uniforme, qui demeure uniforme lorsque M croit au delà de toutes limites.

Mais la courbe, rapportée à un système de coordonnées rectangulaires, est-elle représentée par l'équation

et regarde-t-on, comme " quelconque „, un point qui correspond à une valeur quelconque de x? On donne, en raison de cela, par une série des valeurs de x, série dont les valeurs séparées sont

les multiples se suivant Tun Tautre de la fraction— j^» sur

la courbe, une série non unifonne de points, qui aussi ensuite demeure non uniforme, lorsque M croit à l'infini.

De nouveau d'autres séries de points correspondraient à la représentation de la courbe par les équations

•^ == y (")» y =^ ^ 00 ou par l'équation polaire

si chaque fois le point correspondant à une valeur quelconque de M, relativement de 6, de la courbe, est interprété comme pris arbitrairement.

Que Ton doive parvenir à des résultats différents lorsqu'on résout le mémo problème en ayant égard à l'une ou à l'autre de ces différentes totalités de points, se comprend de soimême.

Deux, trois, points sont-ils à prendre arbitrairement

dans une ligne, dans une surface ou dans un espace? On imagine un point pris tout d'abord; puis, indépendamment

de celui-ci, un deuxième; ensuite un troisième point Le

nombre des complexes de points est mesuré alors par la

deuxième, troisième puissance du nombre qui évalue la

grandeur de la ligne, etc.. De plus, il faut observer qu'un groupe saisi est à compter dans la totalité aussi souvent que les points, envisagés comme des éléments différents, fournissent de permutations; donc 2!, 3!, ... fois; car chaque point du groupe peut être considéré comme choisi le premier, le deuxième, le troisième

Un problème se rapporte-t-il à deux points pris arbitrairement dans une droite donnée? Les combinaisons des valeurs des distances de ces points à une extrémité de la droite, forment une variété du deuxième ordre; mais une telle variété correspond aussi aux points d'une aire plane, de manière que la question originaire peut être ramenée à une question concernant un point dans une figure plane.

De même, un problème relatif à trois points à prendre arbitrairement dans une droite peut être ramené à un autre qui se rapporte à un point dans l'espace.

Le cas d'un nombre à choisir arbitrairement entre des limites données est identique à la prise arbitraire d'un point dans une droite, dont la longueur correspond à l'intervalle des limites auxquelles le nombre est lié.