L-^L'= Y+N(L.L'); d'où résulte

2. Les courbes se coupent en quatre points (fig. 47). Dans la somme N{L) -f iV(L') sont comptées toutes les lignes qui coupent la figure concave ^P.BÇ Ci?' />SJ, parmi lesquelles deux fois celles qui rencontrent simultanément L et L' ; la figure concave est à remplacer de nouveau par le fil l'embrassant, PP'Ç'Çii^i?' 8' Sf, de longueur Y.

La conclusion est la même qu'auparavant ; par conséquent, le résulta-t est aussi iV(L, L) = L 4- L — Y.

La probabilité requise est donc dans les deux cas

89. Problème XXVII. — Une droite menée arbitrairement coupe une diagonale d'un carré donné; découvrir la prohabilité pour que cette droite rencontre aussi Vautre diagonale dans l'intérieur du carré.

Solution. — Les deux diagonales peuvent être envisagées comme deux courbes fermées, convexes qui se coupent en

quatre points, et dont chacune possède la longueur 2a V 2, lorsque a indique le côté du carré. Dans le sens du problème précédent, on obtient alors

L = L' = 2«\/2, Y=4a; par conséquent,

90. Problème XXVIII. ^ A l'intérieur d'un cercle donné, de rayon r, est pris arbitrairement un point; découvrir la prohabilité pour qu'une sécante du cercle ^ menée à volonté passe à une distance du point plus petite que v.

Solution. — Soit 0 (fig. 48) le centre du cercle donné, P le point marqué arbitrairement; si OP = (>, la probabilité de la Fi^ 48 position indiquée de P est

^i io\ jp) W" Un cercle est décrit de P comme

\ V v y centre avec le rayon r; on reconnaît

^^^^^i^^ qu'une sécante menée à volonté, du

cercle donné, ne satisfait à la condition

de la question que lorsqu'elle coupe en même temps ce

deuxième cercle. La probabilité y relative est à calculer

d'après la formule finale du n" 88 ; dans le cas présent, on a

L == L' =- 271 r, r= 2nr -f 2ç;

par conséquent,

nr — Q

-^ nr

Par suite, la probabilité totale composée de l'événement en question est

^= f^Q^Q-'^^^-^fi''^-- 9)9^9-'^^

91. Problème XXIX. — A l'intérieur d'un cercle donné de rayon r est pris à volonté un point; trouver la probabilité jwur qu'une sécante du cercle, menée arbitrairement soit à une distance du point plus petite que e.

Solution. — Comme dans le cas précédent, soit 0 (fig. 49), le centre du cercle donné, F le point pris arbitrairement

Premièrement soit 0 P= ^ > r — e; »"«« *'••

le cercle décrit de P avec le rayon e ^^ -v^

coupe le cercle donné ; les relations se / /''v^

trouvent semblables à celles du n*» 90 et, [ ^ avec les désignations choisies là, on a /y«=27rr, L =^2ney

Y=2nr—2rarcco8- y-2earcco8 \-2\l Q^ — (r^eY\

la probabilité relative à ce cas est donc

X 0 7ie-\- (r — e) arc cos \ q^ — (r — ey

^~T3 / (^^ + ('* — e)arccos — y Q* — {'' — f'YjQffQ»

Maintenant est

neqdq = -^ne\ r* — (r — e^ \ ;

si l'on pose dans le second membre = m, il vient

I arc cos çdç = — (r — ey j u~^arcco8udu,

et par intégration par parties

(r-é) I arccos çdQ'^—^ — -arccos q \r*-{r-ey;

enfin est

Qde-Y^\r*-{r-en

Conséquemment, on a finalement

Il reste encore à calculer la probabilité pour le cas oîi 0P= Q <C r — e.Le cercle décrit de P comme centre avec le rayon e est enveloppé alors par le cercle donné et toute droite qui le coupe satisfait aux conditions de la question. La probabilité y relative est donc (comp. au n^ 81)

71 {r — ey 'Ine ne (r — «)*

Tir* Inr nr'

La somme des probabilités 1) et 2) donne la probabilité totale de l'événement en question,

^^JT^ +~2 "'"'""'* T" "2 ^^^'■■^^

Le résultat prend une forme plus élégante et plus abrégée

lorsqu'on a égard à la position propre du point P (fig. 50). Le fil embrassant les deux cercles a, dans ce cas, la longueur

Fo = 2 TT r — 2r arc cos

Fig. 50.

-\-2earcco8 h2V'** — (** — <')*»

l'excès sur les deux périmètres de cercles est

r — fî 2nr'\-2ne— YQ=27ïe-\-2(r — e)arccos — ;

donc n peut être présenté sous la forme suivante :

et si l'on introduit enfin l'angle 20 que les deux parties rectilignes de la courroie sans fin enserrent, on obtient 27rr + 2ne— Y^ , cos^ 27ir "^ 371 '

Le premier terme du second membre représente la probabilité sous la condition que le point pris arbitrairement tombe sur le périmètre du cercle donné; si l'on désigne cette probabilité par //o, on a

Remarque. — Le cas spécial traité au n** 90 se déduit du cas actuel, en posant r = p et simultanément d = 0; en effet, on trouve alors de nouveau

92. Théorème VI. — La quantité des droites arbitraires qui peuvent être menées entre deux courbes fermées, convexes^ extérieures l'une à Vautre, sans couper l'une d'elles, est 7nesurée par X — L — L', lorsque X, L, L' 07it les significations introduites antérieurement (•).

Démonstration. — La totalité des droites qui coupent la figure convexe, RHSS'H'R'R, Fig. si.

(fig. 51) de longueur Y se compose des droites qui coupent L, de celles qui coupent L', et de celles qui passent entre les deux courbes.

Soit N la quantité des dernières.

Mais, de plus, les droites qui rencontrent en même temps LL et dont la quantité, suivant

(») Voir n» SJ.

le n° 83, égale X — Y, sont comptées deux fois, savoir tant parmi les droites qui rencontrent L que parmi celles qui coupent L'. Pour établir l'égalité, ces droites qui rencontrent en même temps L et L' doivent donc être portées en déduction une fois. Ce raisonnement conduit à l'équation

Y=L + L' + N'-X+ Y; de laquelle, résulte, comme il a été affirmé,

Si Ton observe que X = PP+ ÇÇ' L — arc PQ -\- L' — arc P' (?', on peut écrire aussi

2) iV =- PP' + QQ' — arcPQ — arc P' Q.

93. Remarque. — En vertu de la formule 2), la totalité des droites qui passe entre les deux branches d'une hyperbole est donc mesurée par la différence entre les asymptotes et les branches de l'hyperbole^ laquelle différence, comme on sait, a une valeur finie.

Soit A P (fig. 52) une branche de l'hyperbole, 0 le centre, PQ une tangente, OQ une droite menée perpendiculairement à PC; puis, a = OA désigne le demi-axe réel, e l'excentricité relative. On pose OQ=.p,PQ = u, l'angle XOQ = «; ainsi, />, u peuvent être envisagés comme de nouvelles coordonnées rectangulaires du point Pde l'hyperbole, rapportées à un système de coordonnées ayant même origine que le système originaire, tourné d'un angle h sur celui-ci ; conséquemment, on a p = X cos B — y sin 6, u = X sinO -\- y cos 0; puis,

1) -t§ == T^ • cos 0 — ~ sm 6 — X sin B — ycosB^ — u, (lu (IB do

^, (l^p du dx . ^ du ^ ^ , . ^ ds

car des relations

FiK. 52.

résulte

~ = cota 6 et -7- = cosec B dx ^ dx

dx a dy . ^ dx g. dx . ^ . ^ ^

et dx . ^ , dy ^ dx . ^ , dx ^ ^ dx ds

On intègre l'équation 2) dans les limites 0 et 6; ainsi s'obtient, lorsqu'on désigne par s l'arc A P,

f^^^s-Jpde,

et, en considération de 1),

u — * = / pdO.

L'intégrale du second membre exprime donc la différence entre QPet l'arc d'hyperbole A P. Laisse-t-on se déplacer le point P à l'infini, donc progresser 6 jusqu'à la valeur a =

arc sin — ? On obtient la différence entre une branche com-

plète de l'hyperbole et la demi-asymptote correspondante;

si l'on remplace p par l'expression connue a\l — «* stw^d, la différence dite devient égale à l'intégrale

a J\Jl — e^sin^ede,

et, par conséquent, la différence entre l'hyperbole entière et les asymptotes est

3) J^4af\/i—e* siw* BdO,

Par les substitutions

e8mo = sin<p, — «= x,

ou a

\ji:i7^ede^. r/^^^^y ^-^iriLzigM;

f\ll — «« sm« BdO^x f—^

et si l'on introduit, pour les intégrales elliptiques complètes Ej F, les développements connus, finalement

94. Problème XXX. — Une courbe fermée ^ convexe^ de lo'iigueur L enveloppe deux courbes formées de même^ extérieures l'une à l'autre, possédant les longueurs 1, 1'. Quelle est la probabilifé pour qu'une droite menée arbitrairement qui coupe L passe entre 1 et V ?

Solution. — On désigne par x la longueur du fil en forme

de nœud tendu autour de / et de l'; par la proposition du

n*» 92, est

Remarque. — Lorsque les deux courbes disposées à l'inté-

rieur de L se réduisent à deux points, dont la distance est e.

on obtient

par conséquent,

comme cela s'obtiendrait aussi par le n^ 81.

95. Problème XXXI. — Trouver la probabilité pour qu'une droite menée arbitrairement qui coupe un cercle domié rencontre aussi un diamètre donné de celui-ci.

Solution. — A cette question, s'adapte le cas cité dans la remarque du n" 94. La droite coupe le diamètre AB lorsqu'elle passe entre les points A et B. Si l'on désigne le diamètre du cercle par r, e = 2r, donc la probabilité requise est

96. Problème XXXII - Cidrul,,- la prohabilité pour qu'une droite menée arbUrairemetU qui coupe une demi-circonférence donnée rencontre aussi la demi-circonférence complétant la circonférence entière.

Solution. — La demi-circonférence donnée .4 C5 (fig. 53) représente une courbe fermée, partiellement concave qui est à remplacer (n*» 80) par le courbe convexe AOBC. Une droite qui coupe la demi-circonférence donnée rig. 53. .

rencontre aussi la complémentaire ADE, lorsqu'elle passe entre les points A et B^ Dans le sens de la remarque du n^ 94, on a

e = 2r, L = TTr -4- 2r; par conséquent, '^

97. Problème XXXIII. — Déterminer la probabilité pour que deujr sécantes d'une courbe fermée, convexe, menées arbitrairement, se coupent dans l'intérieur de la courbe.

Solution. — On désigne par N le nombre total des points d'intersection que donnent toutes les sécantes de la courbe dont la longueur est L; par Z la quantité des points d'intersection qui tombent dans la surface limitée par la courbe, dont l'aire s'appelle J. Ainsi, on a

Le nombre des sécantes est L; par conséquent, le nombre de leurs points d'intersection,

Pour découvrir Z, nous considérons les sécantes d'une direction déterminée et comptons les points d'intersection sur celles-ci en tant qu'ils sont contenus dans la surface. A cette fin, nous dégageons le groupe des sécantes mentionnées dont la distance à un pôle 0 (fig. 54, p. 130) se trouve entre les limites p et /? + dp; leur nombre est dp. Sur une de ces sécantes, gisent autant de points d'intersection intérieurs qu'il y a de droites qui coupent la corde AB; c'est 2AB;

par conséquent, sur toutes les sécantes, 2 A B.dp et sur toutes les sécantes de la direction déterminée /•« f2ABdp = 2J

points d'intersection. Comme ce nombre est indépendant de la yj jj^ direction, il y a sur les sécantes de

toutes les directions 27rJ points d'intersection intérieurs; mais chacun est compté doublement; donc on a 3) Z= nj.

Par introduction des valeurs de 2) et de 3) dans 1), s'obtient finalement ,, 2nJ

Par exemple, la probabilité pour que deux droites menées arbitrairement à travers un carré aient leur point d'intersection à l'intérieur du carré est

et, pour un cercle, la probabilité correspondante est

^27r2rg 1

un maximum.

Remarque. — On pose AB == C; l'équation 3), en considération de l'équation la précédant, peut s'écrire sous la forme

«) ffCdpde=^TtJ,

l'intégration étendue à toutes les sécantes de la courbe.

98. Théorème VII. — La densité des points d'imiter section réciproques de toutes les sécantes arbitraires d'une courbe fermée^ convexe est constante en tous les points au dedans de la courbe^ et est égale à n; en un point au dehors de la courbe, elle s'élève à 6 — sin 6, 6 indiquant l'angle sous lequel se projette la courbe du point considéré.

Démonstration. — 1. Pour découvrir la densité des points d'intersection en un point au dedans de la courbe, nous entou-

rons ce point d'un cercle infiniment petit ou d'une autre figure convexe d'étendue infiniment petite; soit dJ sa. surface. Dans cet élément de surface, le nombre des points d'intersection divisé pai- dJ donne la densité requise. En vertu de l'équation 3) du n° 97, la quantité des points d'intersection de toutes les droites qui rencontrent le contour de l'élément

dJ est exprimée par n. dJ; leur compacité est donc \ . =7r,

donc indépendante de la position du point, ou régulière, uniforme sur la surface entière, limitée par la courbe.

2. Une marche semblable conduit au but lors de la considération d'un point extérieur P(tig. 55a). La fig. 55b représente le cercle, à imaginer infiniment petit, qui a été marqué autour du point P; VÇ, WR représentent les ^^^- ^■'"•

tangentes AP, BP de la fig. 55 a; soit d J \ti surface du cercle.

Une corde CD du cercle, menée arbitrairement, laquelle coupe par son prolongement aussi la courbe donnée, est rencontrée par autant de sécantes de cette dernière qu'il y a de droites qui coupent simultanément la courbe et CD. La quantité de ces sécantes est mesurée, d'après le n« 83, par la différence X — F; dans la figure, c' D C D w' est une partie de X (du fil se croisant), v Cw une partie de Y (du fil extérieur), et avec l'étendue infiniment petite du cercle, vis-à-vis do son éloignement de /, t* 0, v' D, r^>, d'un côté, et wD^wC^ WR, de l'autre côté, peuvent valoir comme des parallèles. Sous cette supposition, on a

Fig. 55 1.

X— y =^2CD- CH— CK.

Pour les cordes à l'intérieur d'une bande de parallèles, se rattachant à CD, de la largeur dp, la quantité des points d'intersection est par conséquent

dp (2 CD —CH— CK) ^ CD. dp {2 — cas \e — a\ — cos a),

pour toutes les cordes de la direction CD^ égale

(2 — cos\S — a\ — coscc) jCDdp=(2 — cos\0—a\ — cosa)dJ,

enfin, pour toutes les directions admissibles de la corde, la quantité de tous les points d'intersection tombant dans le cercle égale

1) ^dj r,

(2 — cos\0 — a j — cosoc)da=(6 — sin 6) dJ;

le facteur | doit être introduit, parce qu'autrement chaque point d'intersection serait compté deux fois.

Par conséquent, la densité des points d'intersection en P est égale à

9^ A (^ — sin S) dJ .

comme cela a été affirmé.

99. Remarque. — Les mêmes considérations que celles de 2) du n^ 98, seraient à donner pour trouver la densité des points d'intersection réciproques de toutes les droites arbitraires qui passent entre deux courbes fermées, convexes; le résultat s'énonce aussi

â =- 6 — sin 6\ seulement, relativement à la détermination de l'angle ô, une remarque doit être faite.

Le point, duquel la densité est à découvrir, tombe-t-il dans un des triangles mixtilignes OTQ, OF' Q' (tig. 56), par exemple en ^? Ainsi, 6 est l'angle adjacent de l'angle que les Fig. 56. tangentes menées de ^ à la courbe se

trouvant le plus proche enserrent.

Le point, en échange, gît-il dans un des espaces infinis d'angles POQ\ F'OQ^ par exemple en ^? Alors, l'angle 6 vaut celui que forment les tangentes intérieures, menées de B aux deux courbes; brièvement dit, chaque fois, il faut prendre l'angle par le sommet duquel ne passent que des lignes de l'espèce indiquée plus haut.

Conformément à la proposition du n" 92, la quantité des droites passant entre les courbes est mesurée par PP' + QQ' — arcPQ — arcP'Q'; la quantité do leurs points d'intersection réciproques est par conséquent

-i- (PF + Ç Ç' - arc PQ -> arc P Q'Y; par cela, s'obtient la proposition remarquable suivante :

— sine)dJ=^{PP'-\-QQ'-'arcPQ-arcPQ')\