II
l'intégration étendue à la partie (du plan) que rencontrent les droites de l'espèce désignée préliminairement; l'angle 6 compté dans le sens expliqué plus haut. En appliquant cette formule à l'hyperbole, on obtient
2) / / (^ — sin e)dJ = ^ J';
dans cette expression, J désigne la différence entre les deux asymptotes et les deux branches de l'hyperbole (comp. au n**93); l'intégration a à s'étendre ici à la partie (du plan) se trouvant entre les branches de l'hyperbole.
100. Problème XXXIV. — Trouver le nombre des points d* itUersection extérieurs de toutes les droites arbitraires qui coupent mie courbe fermée^ convexe^ de longueur L et d'aire J.
Solution. — En conformité de la proposition du n** 98 ,2, la quantité de ces points d'intersection est exprimée par l'intégrale
fj{e — sin S) dJ,
étendue à tous les éléments du plan, qui se trouvent à l'extérieur de la courbe.
D'un autre côté, la quantité de tous les points d'intersection,
tant extérieurs qu'intérieurs, est -p- L* ; mais la quantité des
points intérieurs, suivant l'équation 3) du n° 97, est nj; consé-
quemment, la quantité des points extérieurs est -g- L* — nj.
Par là, s'obtient la remarquable proposition : " Si d désigne „ l'angle sous lequel se projette une courbe fermée, convexe, „ do longueur L et de surface J, d'un point extérieur de son „ plan, et si dJ est l'élément du plan en ce point, on a
{8 — sine)dJ=^ "2" ^' ~ ^*^»
„ l'intégrale étendue au plan entier, considéré extérieurement „ à la courbe (*). „
La justesse de cette proposition se laisse vérifier facilement par son application au cercle. Ici B demeure constant pour tous les points d'un cercle concentrique au cercle donné; dJ est donc l'aire d'un anneau circulaire infiniment étroit. En nommant r le rayon du cercle donné, q celui du cercle variable, on a
^ ^ ^ ^ rcos-^d-^
Q = ^; dQ=^ ^ , dJ=27lQdQ,
sin -rr- sin^ -^
donc,
/ {e — sine)dJ==7Tr^ (sme — S) ^dS
J J J a In?
4 cois-' ^ - 2e — I J rf -^ = ?rV
sm^
ce qui égale réellement la différence -^ (27TrY — n.nr^.
(}) Crofton a fait la première communication de cette belle proposition à l'Académie de Paris en 1867 {v. Comptes rendus, tome 65, pag. 994 et 995). Une démonstration analytique de celle-ci, faite par Serret, se trouve dans les " Annales scientif. de l'école norm. supérieure „, VI (1869), pag. 177 à 185 (aussi dans les Comptes rendus, 1869, pag. 1132 à 1187). Serret part d'un polygone convexe, rectiligno, d'un nombre quelconque de côtés et parvient par une voie intéressante, quoique circonstanciée, au résultat ci-dessus mentionné, qu'il étend aussi au cas du contour composé de parties curvilignes et rectilignes.
101. Problème XXXV. — Trouver la probabilité pour que les points d'intersection réciproques de trois sécantes d'un cercle, menées arbitrairement, se trouvent à Vititérieur du cercle.
Solution. — Soit C (fig. 57) le centre du cercle donné, A C = c son rayon. Nous mettons en relief MN^ quelqu'une des sécantes. La quantité des tri-sécantes favorables, auxquelles appartient MN, est égale à la quantité des couples de droites, qui, coupant la corde AB, ont leur point d'intersection à l'intérieur du cercle donné, et cette quantité, conformément à la proposition du n° 98,2, est exprimée par l'intégrale suivante étendue à l'aire du cercle donné :
" '\e — sin S) dJ,
If
Comme 6, en tous les points d'un arc de cercle passant par Ay By demeure constant, nous nous représentons le cercle donné décomposé en éléments par des arcs de cercle tels que A PB. Un pareil élément a la grandeur
dJ = d
ABP.
Si maintenant 0 est le centre de Tare A PB, AO = q son rayon, ^5 = 2a, on a
segm ABP -^(n — B) q^ -\- aq cos 6 = «« (^^^ + cotg e\ , d'oîi.
dJ^.—
stn
^{ 1 -{-{71— S) cotg 6 \ de.
Par conséquent, la quantité des tri-sécantes appartenant à J/iV, desquelles le troisième point d'intersection git au-dessus de MNy est
j \sin'0
, OcosO e^'osS 1 cosS , BcosS
sin^O sin^O sinS sin-B sln
Par l'exécution des intégrations individuelles, tout d'abord sans considération de limites, on obtient l'expression
2sin^e 2 ^^^ '^2sin^e'^ sine smè~ sinO
B^ — 7ie—\nsin2e ■^ 2sin''e
dont les deux parties pour la limite la plus élevée prennent la forme indéterminée -j-\ mais le premier terme composant,
sin$ sin (71 — 6) sinâ tend vers la limite 1, par â diminuant vers zéro, pendant que
le second terme composant a la valeur limite -^, comme on le
trouve facilement par la différentiation deux fois du numérateur et du dénominateur. Donc est
3 7t — ^i^^ — a^ -{- ^7t sin2a'^ 2 sin a 2sin'^a t
La quantité N^ des tri-sécantes favorables, dont le troisième point d'intersection gît au-dessous de MN, se donne manifestement lorsqu'on remplace dans l'expression précisément écrite a par tt — a. La somme iV, + N^ fournit la quantité de toutes les tri-sécantes favorables appartenant k MNj savoir
2) N'=2a^(s-^-{-^^^) = 2c*{Ssin*a-7tsina-\-7ra-a^). \ stnce sm^cc / ^ -'
Pour obtenir maintenant la quantité de toutes les trisécantes favorables qui en soi renferment une droite parallèle à MN, on a à multiplier N par la différentielle de C F, c'està-dire par c sin «g? a et à intégrer le produit par rapport à a
entre les limites 0 et n, qui correspondent aux deux positions extrêmes de MN. Pour recueillir toutes les direction» de M N, donc pour obtenir la quantité de toutes les tri-sécantes favorables, l'expression acquise est à multiplier par n, d'autre part à diviser par 3, parce que dans la marche suivie chaque tri-sécante est comptée trois fois, alors que chaque sécante de celle-ci ne joue qu'une fois le rôle de M N. Par conséquent, le nombre total des cas favorables est
2nc^ r TTC*
3) Z^^*^-^ j (3.sm*a-7r«ma-f-^a-«*)5ïwarfa=-ô-(16-7r*).
u La quantité des tri-sécantes possibles et différentes est
4) 3f = -^(27rc)^=-i-7r3c3;
la probabilité requise, donc . Z 4 1
102. Théorème VIII. — La densité des points d'intersection de toutes les sécantes arbitraires d'une Fig. ssa. courbe fermée^ convexe avec la totalité des » droites arbitraires dans le plan illimité, qui A^.-<^^^ ne coupent pas la courbe, s'élève, en un y^^ \ /
/If coupent pas la courut, s Kit^va, vu un y^ \ i
point à l'extérieur de la courbe, à 2 sin 6, / j y 6 indiquant l'atigle sous lequel la courbe se l y^
projette du point; en tout point à V intérieur de la courbe, la densité, se comprenant de soi-même, est égale à zéro.
Démonstration. — Nous entourons le point considéré P (fig. 58 a) d'un cercle d'étendue infiniment petite (fig. 58b) et comptons les points d'intersection de l'espèce décrite, qui tombent dans ce cercle.
La corde CD fait partie d'une des droites du premier système ; la quantité des points d'intersection de celles-ci avec les droites du second système est égale à la quantité de leurs points d'intersection avec toutes les droites arbitraires du plan; c'est
2CD, à diminuer de la quantité des points d'intersection qu'il donne avec les droites du premier système même, et celle-ci s'élève, d'après l'équation w) du n'' 98, à 2 CD — CH— CK; conséquemment s'obtiennent sur CD
2CD—(2CD-CH—CK)=^CH-\-CK=CD{cosa-]-cos(e—a)]
points d'intersection; par suite, sur les cordes d'une bande de parallèles infiniment étroite se serrant à CZ), de la largeur dp^
\cos a -\- cofi (6 — ce)] CD. dp
points d'intersection ; et sur toutes les cordes de la direction CZ>,
[cos ce -f cos [0 — a)\ i CDdp = [ cos a -\- cos {0 — a)] dJ
points d'intersection, en désignant par dJ la. surface du cercle. Toutes les cordes du cercle, qui font partie des droites du premier système, fournissent par conséquent avec les droites du second système, des points d'intersection dans la quantité
1) dJ I [cos ce -\- cos (S — a)] da = 2 sin 6 . dJ,
donc de la compacité
o^ A 2sine.dJ ^ , „
2) o = 5-7 — = 2 sin 6.
dJ
La quantité des points d'intersection qui tombent sur une partie limitée d'une manière quelconque du plan est exprimée par l'intégrale
2 jy.sm e dJ
étendue à cette partie. L'intégration n'est exécutable que pour certaines formes; le cas suivant, en permettant le dénombrement des points d'intersection par un autre moyen, conduira à une formule générale de cette intégrale.
103. Problème XXXVI. — Une courbe fermée, convexe, de longueur L est entourée par une seconde courbe de même nature, provenant de ce qu'on pose autour de la première un fil sans fin de la longueur Y ^L et de ce qu'un style est conduit de telle manière qu'il tend le fil incessamment. Découvrir le nombre des points d'intersection que donnent les sécantes arbitraires de L avec toutes les droites arbitraires du plan qui ne coupent pas L, sur la surface annulaire limitée par les deux courbes.
Solution. — Nous considérons la cordo A B (fig. 50) de la surface annulaire; cette corde est une Kig. v».
partie intégrante d'une sécante de L; elle donne, avec toutes les droites arbitraires du plan, 2AB points d'intersection; avec les droites qui coupent L, elle fournit X — F de ceux-ci, X signifie dans cette évaluation la longueur du fil sans fin, embrassant ^-B et L; donc, on a
X= A'PABAQA' = L + 2AB; par conséquent, A B donne, avec les droites qui ne coupent pas L,
2AB — (X — V)=2AB — {L + 2AB— Y) = Y — L points d'intersection. Cette quantité est donc la même pour toutes les positions de AB; par conséquent est valable aussi pour A'B\ de sorte que sur chaque sécante de L se trouvent
2(Y-L) points d'intersection; sur toutes les sécantes, dont la quantité
est L, par conséquent
points d'intersection. D'un autre côté, cette quantité, en conformité de la proposition précédente, v^p. «<>. est égale à l'intégrale étendue à la surface annulaire
^ffsin S dJ;
de manière que sous les conditions stipulées dans le texte
(o) ffsin edJ = L{Y — L).
104. La foi-mule (o) peut être vérifiée par son application au cercle. Ici, S demeure constant pour tous les points P (fig. 60) qui possèdent la même distance q de 0; par conséquent, un anneau circulaire de la largeur dç peut être pris pour dJ, Maintenant, on a
rcos
d'oii
8in
sin 6 dJ =27tQ sin $ dg par conséquent, on a
f fslnedJ==i7ir'' Ç
co1f-^d-^
inr^
= 2Ttr \ 2r cotg a — r(n — 2a) j.
Comme
L = 27rr, Y= 2nr — r(7r — 2a) + 2r cotg a,
Y — L = 2r cotg ce — r (n — 2 a),
la valeur de l'intégrale devient réellement égale à L(Y — L).
105. L'application de la formule «) à une droite délimitée i^'F' (fig. 61), de longueur 2 c, cette droite étant envisagée
comme courbe fermée, convexe, de longueur 4 c, conduit à une intéressante proposition. Dans ce cas, la courbe engendrée par l'utilisation d'un fil de longueur F= 26* + 2a est une ellipse, pour laquelle les points terminaux F, F' de la droite délimitée, jouent le
rôle de foyers, et dont le grand axe possède la longueur 2a.
L'intégrale j j sin 6 dJ, étendue à la surface de cette ellipse,
a, conformément à la formule citée, la valeur 4c (2 c+ 2a— 4c)
= 8c (a — c), ou c'est l'intégrale
/ / 8171 S dx dy = 8c (a — c), (^)
étendue à la surface entière de l'ellipse.
106. Théorème IX — La densité des points d* intersection de toutes les sécantes arbitraires d'une courbe fermée, convexe avec la totalité de toutes les droites arbitraires du plan illimité y s'élève^ en un point à l'intérieur de la courbe^ à 2n; en un point à l'extérieur de la courbe à 26; 6 désignant V angle sous lequel la courbe se projette du point.
Démonstration. — 1. On décrit, autour d'un point quelconque à l'intérieur de la courbe, un cercle infiniment petit,
(*) Une démonstration directe de cette formule a été donnée par E. B. Elliott dans le tome XXVI de l'Éduc. Tim., pag. 79 et pages suivantes.
dont la surface est dJ\ toutes les sécantes du cercle conçues comme sécantes de la courbe, avec toutes les droites arbitraires du plan, à l'intérieur du cercle, fournissent 2ndJ points d'intersection [v. au n" 97 l'alinéa précédant l'équation 3)]; leur densité est donc
2. Comme antérieurement, la figure 62 peut représenter le cercle qui entoure le point consi- Fig. 62.
déré P; F Ç, WR représentent les tangentes menées de P à la courbe, tangentes dont l'angle d'inclinaison est B. La corde CD fait partie d'une droite dn premier système, c'est-àdire d'une droite qui coupe la courbe ; le nombre de ses points d'intersection avec les droites du second système, c'est-à-dire avec toutes les droites arbitraires du plan, est 2 CD; pour toutes les cordes parallèles à CD, ce nombre est
2yCD dp = 2dJ, et pour les cordes de toutes les directions admissibles 26 dJ, de sorte que la densité des points d'intersection égale
1. Remarque. — La deuxième partie de la présente proposition peut être déduite aussi des deux propositions du n** 98 et du n<* 102. Les points d'intersection que forment les sécantes de la courbe avec toutes les droites arbitraires du plan se divisent en deux groupes : celui formé avec les droites qui rencontrent la courbe et celui formé avec les droites qui ne coupent pas la courbe. La quantité des premiers points, d'après l'équation 1) du n^ 98, est
2{e — sin 6) dJ; le facteur { qui était placé là à gauche, parce qu'il s'agissait dos intersections réciproques des droites d'uN système, est omis ici, parce qu'il s'agit de l'intersection de deux différents systèmes de droites. La quantité des points d'intersection de la deuxième espèce, d'après l'équation 1) du n^ 102, est
2 sin e dJ;
par conséquent, la somme des deux quantités est
2edJ, comme plus haut.
